初值敏感性.doc

初值敏感性.doc*牛顿定律的初值敏感性混沌（chaos）
对牛顿定律确定性的绝对化理解，在上世纪 六十年代受到了挑战。
1961年美国气象学家洛仑兹在研究大气对 流对气候的影响时，用牛顿力学建立了一组
非线性微分方程:
dx
d7 = _
dy
—=—xz + yx — y dt
b(x_y)
dz
dt
=xy-bz
（6 为参数）
2
:
结论：长期的天气预报是不可能准确的。
气候对初始值的敏感性现象称为“蝴蝶效应” o
3
运动对初始值的依赖性可以分为两类。
第一类是运动情况一般地依赖初值：
如单摆的自由小摆动（线性微分方程）。
第二类是运动情况敏感地依赖初值：
如气候的变化问题（非线性微分方程）O
一般来说，服从非线性规律的非线性系统, 对初始值表现出敏感性。
介绍一个典型的非线性迭代方程的例子:
n
0
X0=0el
x0=+108
x0=+107
1

…
…
2

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• ♦ •
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10
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—
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• • •
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• • •
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•-
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-・
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…
••-
…
〃 =0,1，2 ,…
若2 =4,对三个初值有:
0 <2< 4 , 0 <x < lo
6
对初值敏感引起的随机性，称为内在随机性， 而结果的飘忽不定，称为混沌现象。
混沌是在决定性动力学系统中出现的一种 貌似随机的运动。
在上面典型的非线性迭代方程中，还发现有
“倍周期分叉”现象：
▲当Iv2v3时,迭代的归宿是一个确定的数歹。 例如：2=，x/l+1=x//=7/12(n^oo),周期为 1。 ▲当走3时，迭代出现多个确定的数值歹o
(2 = 3时，曲线开始分叉)
例如：2 = ，一个无值对应的有两个f值, 即其归宿轮流取两个值：
周期为2。
•V〃+2 = ， ―> ,
>1=，与一个2值对应的有4个§值, 即其归宿轮流取四个值：
兀〃+4=兀//， —
周期为4。
^-
▲<2<4时，最后归宿可取无穷多值,
即出现混沌现象，周期为00。
通过倍周期分叉走向混沌的道路，这是目前
已知的一种典型方式，如下图所示: