完整版切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理.docx

完整版切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理37508.docx实用标准文案
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理
以及与圆有关的比例线段
［学习目标］
1.
切线长概念
切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，
这点和切点之间的线段的长度，
“切线长” 是切线上
一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
（ PA长）
2.
切线长定理
对于切线长定理，应明确（ 1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等； （ 2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径； （ 3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得
到一个等腰三角形； （ 4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（ 5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。
直线 AB 切⊙ O于 P，PC、 PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）
弦切角定理： 弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
弄清和圆有关的角： 圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
遇到圆的切线，可联想“角”弦切角， “线”切线的性质定理及切线长定理。
与圆有关的比例线段
定理
图形
已知
结论
证法
相交弦定
⊙ O中， AB、CD为弦，交
PA· PB＝ PC·PD.
连结 AC、 BD，证：△ APC
理
于 P.
∽△ DPB.
相交弦定
2
＝ PA· PB.
用相交弦定理 .
⊙ O中， AB为直径， CD⊥ PC
理的推论
AB于 P.
（特殊情况）
文档
实用标准文案
切 割 线 定 ⊙ O 中， PT 切⊙ O 于 T， PT2＝ PA· PB 连结 TA、 TB，证：△ PTB
理 割线 PB 交⊙ O于 A ∽△ PAT
切 割 线 定 PB、PD为⊙ O的两条割线， PA· PB＝ PC·PD 过 P 作 PT 切⊙ O于 T，用
理推论 交⊙ O于 A、 C 两次切割线定理
（记忆的方法方法 ）
圆幂定理
⊙ O中，割线 PB 交⊙ O于 P'C· P'D＝ r 2－ OP'2
延长 P'O 交⊙ O 于 M，延
A， CD为弦
2
2
长 OP'交⊙ O于 N，用相交
PA· PB＝ OP－ r
r 为⊙ O的半径
弦定理证； 过 P 作切线用
切割线定理勾股定理证
圆幂定理： 过一定点 P 向⊙ O作任一直线， 交⊙ O于两点， 则自定点 P 到两交点的两条线段之积
为常数 | | （ R 为圆半径），因为 叫做点对于⊙ O的幂，所以将上述定理统称为
圆幂定理。
【典型例题】
例 1. 如图 1，正方形 ABCD的边长为 1，以 BC为直径。在正方形内作半圆 O，过 A 作半圆切线，切点为 F，交 CD于 E，求 DE：AE的值。
图 1
解： 由切线长定理知： AF＝AB＝ 1，EF＝ CE
设 CE为 x，在 Rt△ ADE中，由勾股定理
∴ ， ，
文档
实用标准文案
例 2. ⊙ O中的两条弦 AB 与 CD相交于 E，若 AE＝ 6cm，BE＝ 2cm，CD＝ 7cm，那么 CE＝_________cm。
图 2
解： 由相交弦定理，得
AE · BE＝ CE· DE
AE＝6cm， BE＝2cm，CD＝ 7cm，
，
∴ ，
即
CE＝3cm 或 CE＝ 4cm。
故应填 3或 4。
点拨： 相交弦定理是较重要定理，结果要注意两种情况的取舍。
例 3. 已知 PA是圆的切线， PCB是圆的割线，则 ________。
解： ∵∠ P＝∠ P
∠ PAC＝∠ B，