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算法案例岳阳县三中高一数学组 1. 回顾算法的三种表述: 自然语言程序框图程序语言(三种逻辑结构) (五种基本语句) 2. 思考: 小学学过的求两个数最大公约数的方法先用两个公有的质因数连续去除,一直除到所得的商是互质数为止,然后把所有的除数连乘起来. 辗转相除法(欧几里得算法) 观察用辗转相除法求 8251 和 6105 的最大公约数的过程第一步用两数中较大的数除以较小的数, 求得商和余数 8251=6105 × 1+2146 结论: 8251 和 6105 的公约数就是 6105 和 2146 的公约数,求 8251 和 6105 的最大公约数,只要求出 6105 和 2146 的公约数就可以了。第二步对 6105 和 2146 重复第一步的做法 6105=2146 × 2+1813 同理 6105 和 2146 的最大公约数也是 2146 和 1813 的最大公约数。完整的过程 8251=6105 × 1+2146 6105=2146 × 2+1813 2146=1813 × 1+333 1813=333 × 5+148 333=148 × 2+37 148=37 × 4+0 例 2 用辗转相除法求 225 和 135 的最大公约数 225=135 × 1+90 135=90 × 1+45 90=45 ×2显然 37 是 148 和 37 的最大公约数,也就是 8251 和 6105 的最大公约数显然 45 是 90 和 45 的最大公约数,也就是 225 和 135 的最大公约数思考 1:从上面的两个例子可以看出计算的规律是什么? 1、辗转相除法(欧几里得算法) (1)算理:所谓辗转相除法,就是对于给定的两个数,用较大的数除以较小的数。若余数不为零,则将余数和较小的数构成新的一对数,继续上面的除法,直到大数被小数除尽,则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数。辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤,这实际上是一个循环结构。 8251=6105 × 1+2146 6105=2146 × 2+1813 2146=1813 × 1+333 1813=333 × 5+148 333=148 × 2+37 148=37 × 4+0 m = n × q +r 用程序框图表示出右边的过程 r=m MOD n m = n n = r r=0? 是否(2)算法步骤第一步:输入两个正整数 m,n(m >n). 第二步:计算 m除以 n所得的余数 r. 第三步: m= n,n =r. 第四步:若 r=0,则 m,n 的最大公约数等于 m; 否则转到第二步. 第五步:输出最大公约数 m. (3)程序框图(4)程序 INPUT “ m,n =“; m,n DO r=m MOD n m=n n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT m END 开始输入 m,n r=m MOD n m=n r=0? 是否 n=r 输出 m结束