函数的单调性.doc

函数的单调性
一、函数单调性的的判断方法
除了用差分法 （又称定义法） 判断函数的单调性外， 常用的方法还是有以下几种：
直接法
直接法就是利用我们熟知的正比例函数、一次函数、反比例函数的单调性，直接
判断函数的单调性，并写出它们的单调区间，熟记以下几种函数的单调性：
正比例函数 y kx(k 0) ：
○
当 k
0 时，函数 y
○
当 k 0 时，函数 y kx 在
1
kx 在定义域 R 上是增函数； 2
定义域 R 上是减函数 .
(2) 反比例函数 y
k ( k
0) ：
x
k
○
k
0 时，函数
1 当
y
x
的单调递减区间是 (
,0),(0,
) ，不存在单调递增区
间； ○2 当 k
0 时，函数 y
k 的单调递增区间是 (
,0),(0,
) ，不存在单调递增区
x
间 .
一次函数 y kx b(k 0) ：
○1 当 k 0 时，函数 y kx b 在定义域 R 上是增函数； ○2 当 k 0 时，函数
kx b 在定义域 R 上是减函数 .
（ 4）二次函数 y ax2 bx c(a 0) ：
○
0 时，函数 y
ax2
bx
c 的图像开口向上，单调递减区间是 (
,
b ] ，
1 当 a
○
2a
单调递增区间是 [
b
,
)
a
0 时，函数
2
； 2
当
y
ax
bx c 的图像开口向下，单
2a
调递增区间是 (
,
b ] ，单调递减区间是 [
b ,
) .
2a
2a
注意： y
f ( x)
x3 在定义域 R 上是增函数， 其图像
如右图：
图像法
画出函数图象，根据其图像的上升或下降趋势
判断函数的单调性 .
运算性质法
（ 1）函数 f ( x)与 af (x) ，当 a 0 时有相同的单
调性，当 a 0 时有相反的单调性；如函数 f ( x) x 与 3 f (x) 3x 的单调性相反，函
数 f (x) x 与 3 f (x) 3x 的单调性相同；
1
（ 2）当函数 f ( x) 恒为正（或恒为负）时 f ( x) 与 有相反的单调性，如：函 f ( x)
数 f (x)
1
( x
(
,0)) 是递增函数，则
1
1
0
f ( x)
x 在区间 ( ,0) 是递减函
x
1
x