阿波罗尼斯圆及其应用
数学理论
“阿波罗尼斯圆” ：
在平面上给定两点
A, B
，设
P
点在同一平面上且满足
PA
,
当
1.
PB
0 且
1时， P 点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆。
1时 P 点的轨迹是线段 AB 的中垂线）
定理： A, B 为两已知点， P, Q 分别为线段 AB 的定比为
(
1) 的内外分点，则以
PQ 为
直径的圆 O 上任意点到 A, B 两点的距离之比为
.
证 （以
1 为例）
设 AB
a, AP
AQ
，则
PB
QB
AP
a , PB
a , AQ
a , BQ
a
.
1
1
1
1
由相交弦定理及勾股定理知
BC
2
PB
BQ
a2
2
AB
2
BC
2
2 a2
2
, AC
2
,
1
1
于是 BC
a
, AC
2
a
, AC
.
2
1
1
BC
而 P,Q,C 同时在到 A, B 两点距离之比等于
的曲线（圆）上，不共线的三点所确定的圆是
唯一的，因此，圆
O 上任意一点到
A, B 两点的距离之比恒为
.
性质
1时，点 B 在圆 O 内，点 A在圆 O 外；
当 0
1时，点 A在圆 O 内，点 B 在圆 O 外。
性质 AC 2
AP
AQ ，过 AC 是圆 O 的一条切线。
若已知圆 O 及圆 O 外一点 A ，可以作出与之对应的点
B, 反之亦然。
2a
a
2
性质
PQ
，面积为
.
2
2
1
1
性质 A 作圆 O 的切线 AC(C 为切点），则 CP, CQ 分别为
ACB 的内、外角平分线。
性质 B 作圆 O 不与 CD 重合的弦 EF, 则 AB 平分
EAF .
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