高中数学竞赛辅导(证四点共圆).doc

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高中数学竞赛辅导（证共圆问题）
一、利用圆的定义（找到某一点，证明四点到这一点的距离相等，则此四点共圆）
1. K ABC内任一点，在△ ABC内作三条直线，AL、BM CN 使/ BALN CAK, / ABM二
/ CBK, / BCNM ACK且 AL=AK BM=B, CN=C,求证：K L、M N四点共圆。
2. 给定锐角三角形△ ABC在BC边上取点A,A2 （ A位于A与C之间），在AC边上取点 Bi,B2 （ B2位于Bi与A之间）,在AB边上取点 GG （ C2位于Ci与B之间）,使得/
=NAA2A =NBB2B1 =NCCQ2 =NCC2G ,直线 AA,、BB1 和 CC1 可构成一个
三角形，直线AA2、BB2和CC2可构成另一个三角形，直线 AA、BB1和CC1，证明：这两 个三角形的六个顶点共圆。
3. 设 AAA3A4为圆的内接四边形，H1,H2,Ha,H4分别为 UAz^AjA^A,—A4AA1 AA2A3
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的垂心，求证：已，战，战屮4四点共圆。
、利用角的关系
（1）证明四点为顶点的四边形的内对角互补，则四点共圆； （2）证明四点为顶点的丝包
线的一外角等于其内对角，则四点共圆；（3）线段同旁张等角，则四点共圆。
4. 凸四边形ABC［中, ACBD,作垂足E关于AB BG CD DA的对称点P、Q R、S,求 证：P、Q R、S四点共圆。
5. 已知0是。O。2O3的公共点，点A、B、C分别是。O2与。QQ与。Q、 OQ与。02的交点，若A B C三点共线，求证：O 0、02、03四点共圆。
6. 已知在凸五边形 ABCD中， BAE =3： ,BC =CD = DE, BCD — CDE = 180°-2：,求 证：A、B C D E五点共圆。
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7. 引三条直线分别平行于三角形的三边，每条直线与所平行的边之间的距离等于该边的 长度，同时，对于每条边、平行于它的直线和高边所对顶点位于该边的两侧，证明：三 角形各边的延长线与所引的三条直线的交点在同一个圆周上。
三、利用相交弦定理的逆定理和割线定理的逆定理
8在锐角△ ABC中