三角形四心向量.doc

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三角形的四心与平面向量总结
三角形“四心〞向量形式的充要条件应用
知识点总结
1．O是的重心;
假设O是的重心，那么故;
为的重心.
2．O是的垂心;
假设O是(非直角三角形)的垂心，那么
故
3．O是的外心(或)
假设O是的外心那么
故
4．O是心的充要条件是
引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记的单位向量为，那么刚刚O是心的充要条件可以写成　，O是心的充要条件也可以是 。假设O是的心，那么
A
C
B
C
C
P
故　;
是的心;
向量所在直线过的心(是的角平分线所在直线)；
例
(一)将平面向量与三角形心结合考察
例1．O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足，那么P点的轨迹一定通过的〔 〕
〔A〕外心〔B〕心〔C〕重心〔D〕垂心
解析：因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为， 又，那么原式可化为，由菱形的根本性质知AP平分，那么在中，AP平分，那么知选B.
(二)将平面向量与三角形垂心结合考察“垂心定理〞
例2． H是△ABC所在平面任一点，点H是△ABC的垂心.
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由,
同理，.故H是△ABC的垂心. 〔反之亦然〔证略〕〕
例3.()P是△ABC所在平面上一点，假设，那么P是△ABC的〔D　〕
A．外心　 B．心　 C．重心　 D．垂心
解析:
那么所以P为的垂心. 应选D.
(三)将平面向量与三角形重心结合考察“重心定理〞
例4． G是△ABC所在平面一点，=0点G是△ABC的重心.
证明 作图如右，图中
连结BE和CE，那么CE=GB，BE=GCBGCE为平行四边形D是BC的中点，AD为BC边上的中线.
将代入=0，
得=0，故G是△ABC的重心.〔反之亦然〔证略〕〕
例5． P是△△ABC的重心.
证明
∵G是△ABC的重心∴=0=0，即
由此可得.〔反之亦然〔证略〕〕
例6假设 为一点， ，那么 是 的〔     〕
A．心           B．外心        C．垂心          D．重心
解析：由得，如图以OB、OC为相邻两边构作平行四边形，那么，由平行四边形性质知，，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D。
(四)将平面向量与三角形外心结合考察
例7假设 为一点，，那么 是 的〔     〕
A．心           B．外心        C．垂心