概率论 条件概率与乘法公式.ppt

条件概率与乘法公式 条件概率在实际当中,我们常常碰到这样的问题,就是在已知一事件发生的条件下,求另一事件发生的概率. 下面首先看一个例子: 第1章概率论基础【 】设某家庭中有两个孩子,已知其中有一个是男孩,求另一个也是男孩的概率(假设男、女孩出生率相同). 解: 用g代表女孩, b代表男孩, A =“该家庭中至少有一个男孩”, B =“两个都是男孩”, 在已知至少有一个男孩条件下, 而所求概率为 1/3 ,记为 P(B|A )=1/3 , 称此概率为在事件 A发生下事件 B发生的条件概率. A gb bg bb??},,{?}{ bb B? 条件概率如果我们去掉条件 A, 这时?= {bb , bg ,gb ,gg}, B = {bb} , 从而 P(B )=1/4. 前面已算出又因为 A = { bb , bg ,gb } ,P(A )=3/4 , P( AB )=P(B )=1/4 , 易得这个结果具有一般性,启发我们给出条件概率的如下定义: ).()(BPABP?故.)( )()(AP AB PABP?,3/1)(?ABP 条件概率定义 设A与B是同一样本空间中的两事件, 若P(A ) > 0 ,则称() 为在 A发生下的 B的条件概率. 类似地,当 P(B ) > 0 时,定义在 B 发生下事件 A发生的条件概率为() )( )()(AP AB PABP?)( )()(BP AB PBAP? 条件概率注: 条件概率是无条件概率之商。注意,由此定义我们无法断言条件概率 P(B|A)与无条件概率 P(B),我们不能由定义断言 或事实上,当 B?A时,有当 AB = ?时,有 )()(ABPBP?)()(ABPBP?).()( )()( )()(BPAP BPAP AB PABP???)(0)(BPABP?? 条件概率一般地, 不难验证,条件概率满足概率定义 中的三条公理: (1) 非负性:对任意事件 B,P( B | A ) ? 0; (2) 规范性: P(?| A ) = 1 ; (3) 可列可加性:设事件两两互不相容,则所以, 条件概率 P(·|A) 也满足概率的所有其他性质. 1)( )()( )()(0????AP APAP AB PABP??,,,, 21nBBB?????? 1 1)()|( i iiiABPABP? 条件概率);()()()()4( 21 2 1 21BAAPBAPBAPBAAP????).(1)()5(BAPBAP??则有的事件是两两不相容设可列可加性, ,,,:)6( 21nBBB?.)( 1 1???????????? ni i ni iABPABP?例如: 条件概率注意( | ) 1 ( ) P A B P A B ? ? P(?|B) = ; P ( A|A ) = ; P ( A|?) = . P(A)11 思考注: 一般的概率看作条件概率也未尝不可。 2)从加入条件后改变了的情况去算条件概率的计算 1) 用定义计算: ,)( )()|(BP AB PBAP?P(B )>0 掷骰子例: A ={掷出 2点},B ={掷出偶数点}P(A|B)= 3 1B发生后的缩减样本空间所含样本点总数在缩减样本空间中A所含样本点个数【 】设某种动物从出生起活 20 岁以上的概率为80% ,活 25 岁以上的概率为 40% .如果现在有一个20岁的这种动物,求它能活 25岁以上的概率. 解:设 A 表示“能活 20 岁以上”的事件, B 表示“能活 25 岁以上”的事件, 则有所求概率为,)(?AP 因为.)( )()(AP AB PABP?,)(? ??)( )()(AP AB PABP?所以由于 B?A, 所以 P( AB )=P(B ), 条件概率