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拉普拉斯变换
基本要求
拉普拉斯变换的定义、 收敛域的概念： 熟练掌握拉普拉斯变换的性质、 卷积定理的意义及它
们的运用。能根据时域电路模型画出 S 域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状
态响应和全响应。能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。 理解
全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。会判定系统的稳定性。
知识要点
拉普拉斯变换的定义及定义域（1） 定义
单边拉普拉斯变换：
正变换
逆变换

st
[ f (t )]
F (s)
0
f (t)e dt
1
j
st
[ F ( s)]
f (t)
2
jj
F ( s)e ds
双边拉普拉斯变换：
正变换 F B( s)
st
f (t )e dt
逆变换 f (t )

1

j st
F B (s)e ds
2 j
（2） 定义域

j
0 时，lim f (t )
e
t
f (t )
e
t
f (t)
e
st
若
0
则
在
0
的全部范围内收敛， 积分
dt
t
0
存在，即 f (t ) 的拉普拉斯变换存在。
0 就是 f (t) 的单边拉普拉斯变换的收敛域。
0 与函
数 f (t) 的性质有关。
拉普拉斯变换的性质（1） 线性性
若
[ f1 (t )] F1( S)
,
[ f2 (t )]
F2 (S)
,1,2为常数时，则
[
1 f1 (t )
2 f2 (t )]
1 F1 (s)
2 F2 (s)
（2）
原函数微分
若
[ f (t )]
F ( s) 则
[ df (t ) ]
sF (s) f (0
)
dt
[ d
n
f (t ) ]
n
1
snF ( s)
sn r 1 f ( r ) (0 )
dt n
r
0
式中 f (r ) (0
) 是 r 阶导数 d r f (t )
在 0
时刻的取值。
dt r
（3）
原函数积分
若 [
f
(t )]
F ( s) ，则
[
t
f (t)dt ]
F ( s)
f
( 1)
(0 ) 式中 f ( 1) (0 )
f (t )dt
0
s
s
（4）
延时性
若 [
f
(t )]
F ( s) ，则
[ f (t
t 0 )u(t
t0 )]
e
st0 F (s)
（5）
s 域平移
若 [ f (t )]
F ( s) ，则 [ f (t)e at ]
F ( s a)
（6）
尺度变换
若 [
f
(t )]
F ( s) ，则
[ f ( at)]
1 F ( s ) （ a
0）
a
a
lim
f
(
)
f
(0
)
lim
sF
(
)
（7）
初值定理
t
o
s