四点共圆例题及答案.doc

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四点共圆例题及答案
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四点共圆例题及答案
例 1 如图， E、F、G、H 分别是菱形 ABCD各边的中点．求证： E、F、G、H四点共圆．
证明 菱形 ABCD的对角线 AC和 BD相交于点 O，连接 OE、OF、 OG、OH．
∵AC和 BD 互相垂直，
∴在 Rt△ AOB、Rt△ BOC、Rt△ COD、Rt△DOA中， E、F、G、H，分别是 AB、BC、CD、DA的中点，
即 E、 F、 G、 H 四点共圆．
若四边形的两个对角互补 ( 或一个外角等于它的内对角 ) ，则四点共圆．例 2 如图，在△ ABC中， AD⊥BC，DE⊥ AB，DF⊥ AC．
求证： B、E、F、C四点共圆．
证明 ∵DE⊥AB，DF⊥ AC，
∴∠ AED＋∠ AFD=180°，
即 A、 E、 D、 F 四点共圆，∠AEF=∠ADF．
又∵ AD⊥BC，∠ ADF＋∠ CDF=90°，
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∠CDF＋∠ FCD=90°，
ADF= ∠ FCD ．
∴∠ AEF=∠ FCD，
∠BEF＋∠ FCB=180°，
即 B、 E、 F、 C 四点共圆．
若两个三角形有一条公共边，这条边所对的角相等，并且在公共边的同侧，那么这两个三角形有公共的外接圆．
证明 在△ ABC中， BD、 CE是 AC、 AB边上的高．
∴∠ BEC=∠ BDC=90°，且 E、D 在 BC的同侧，
∴E、B、C、D 四点共圆．
∠AED=∠ACB，∠ A=∠ A，
∴△ AED∽△ ACB．
上述三种方法是证“四点共圆”的基本方法，至于证第四点在前三点 ( 不在同一直线上 ) 所确定的圆上就不叙述了．
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【例 1】 在圆内接四边形 ABCD中，∠ A-∠C=12°，且∠ A∶∠ B=2∶ 3．求∠ A、∠ B、∠C、∠ D 的度数．
解 ∵四边形 ABCD内接于圆，
∴∠ A+∠C=180°．
∵∠ A-∠C=12°，
∴∠ A=96°，∠ C=84°．
∵∠ A∶∠ B=2∶ 3，
∠D=180°-144 °=36°．
利用圆内接四边形对角互补可以解决圆中有关角的计算问题．
【例 2】已知：如图 1 所示，四边形 ABCD内接于圆，CE∥ BD交 AB的延长线于 E．求证： AD· BE=BC·DC．
证明：连结 AC．
∵CE∥BD，
∴∠ 1=∠E．
∵∠ 1 和∠ 2 都是 所对的圆周角，
∴∠ 1=∠2．
∠1=∠E．
∵四边形 ABCD内接于圆，
∴∠ EBC=∠ CDA．
∴△ ADC∽△ CBE．
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AD∶ BC=DC∶BE．
AD· BE=BC· DC．
本例利用圆内接四边形的一个外角等于内对角及平行线的同位角、圆中同弧所对的圆周角得到两个相似三角形的条件，进而得到结论．
关于圆内接四边形的性质，还有一个重要定理．现在中学课本一般都不列入，现介绍如下：
定理：圆内接四边形两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．
已知：如图 2 所示，四边形 ABCD内接于圆．求证：