人教A版选修2-3第一章
制作胡海权
一般地,对于n ∈ N*有
二项定理:
二项展开式中的二项式系数指的是哪些?共有多少个?
下面我们来研究二项式系数有些什么性质?我们先通过杨辉三角观察n为特殊值时,二项式系数有什么特点?
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(a+b)1
(a+b)2
(a+b)3
(a+b)4
(a+b)5
(a+b)6
1)请看系数有没有明显的规律?
2)上下两行有什么关系吗?
3)根据这两条规律,大家能写出下面的系数吗?
①0= Cnn=1
②从第二行起,每行除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和
(a+b)1
(a+b)2
(a+b)3
(a+b)4
(a+b)5
(a+b)6
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
展开式的二项式系数依次是:
从函数角度看, 可看成是以r为自变量的函数,其定义域是:
当时,其图象是右图中的7个孤立点.
(1)对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.
这一性质可直接由公式
得到.
图象的对称轴:
(2)增减性与最大值
由于:
所以相对于的增减情况由决定.
由:
可知,当时,
二项式系数是逐渐增大的,由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的,且中间项取得最大值。
因此,当n为偶数时,中间一项的二项式
系数取得最大值;
当n为奇数时,中间两项的二项式系数、
相等,且同时取得最大值。
(2)增减性与最大值
(3)各二项式系数的和
在二项式定理中,令,则:
这就是说,
的展开式的各二项式系数的和等于:
(1)
一般地, 展开式的二项式系数
有如下基本性质:
(2)
(4)
(3)当n为偶数时, 最大
当n为奇数时, = 且最大
(对称性)
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