理学数值积分与数值微分学习教案.pptx

会计学
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理学数值(shùzí)积分与数值(shùzí)微分
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取左端点矩形(jǔxíng)近似
求定积分(jīfēn)的思想：
分割(fēngē)、近似、求和
取右端点矩形近似
复化型求积公式
-
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数值积分公式的一般(yībān)形式：
其中(qízhōng)
求积节点(jié diǎn)
求积系数
仅与求积节点有关
求积公式的截断误差或余项：
§ 数值求积的基本问题
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代数(dàishù)精度的判别方法
求积公式(gōngshì)的代数精度（/*Algebraic Precision */）
如果求积公式
对一切不高于m次的多项式都恒成立，而对于某个m+1次多项式不能精确成立，则称该求积公式具有m次代数精度。
求积公式
具有次m代数精度的充要条件是 为
时求积公式精确成立，而 为 时求积公式不能成为等式。
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求积系数(xìshù)的特征：
求积公式(gōngshì)的收敛性和稳定性
若
则称求积公式（*）是收敛的。
设 有舍入误差
，实际计算的求积公式为：
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两者的误差(wùchā)为
其中
求积系数全为正时(zhènɡ shí)，公式是稳定的
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§ Newton—Cotes公式(gōngshì)
一、插值型求积公式(gōngshì)/*Integration Formula of Interpolation Type*/
思想(sīxiǎng)
用被积函数 在区间
上的插值多项式近似代替计算
作n次Lagrange插值多项式:
设已知函数 在节点
上的函数值
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其中
插值型求积公式(gōngshì)：
余项
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形如 的求积公式至少
有n次代数精度的充要条件是它是插值型求积公式。
证明(zhèngmíng)：
充分性
设它是插值型求积公式(gōngshì)
当
时，
即它对所有不超过(chāoguò)n次的多项式精确成立，故至少有n次代数精度。
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则对所有不超过n次的多项式求积公式(gōngshì)精确成立
取
因此求积公式 是插值型的。
必要性
设求积公式至少(zhìshǎo)有n次代数精度
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