线性代数矩阵的相似对角化学习教案.pptx

线性代数 矩阵的相似(xiānɡ sì)对角化
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一、相似矩阵的基本概念与性质(xìngzhì)
1. 相似矩阵的概念(gàiniàn)
定义(dìngyì)
对于 n 阶矩阵 A 和 B ，
则称 A 与 B 相似，
称对 A 所进行的运算 为对 A 进行相似变换。
称可逆矩阵 P 为把 A 变成 B 的相似变换矩阵。
记为
若存在可逆的 n 阶方阵 P 使得
或者称 A 相似于 B，
注
矩阵相似是矩阵等价的一种特殊情况。
P144
定义

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第二页，共31页。
一、相似矩阵的基本概念与性质(xìngzhì)
1. 相似矩阵的概念(gàiniàn)
2. 相似矩阵的性质(xìngzhì)
(1) 反身性
性质
(2) 对称性
若 则
(3) 传递性
若 则
(4)
若 则
(5)
若 则
P144
定理

P144
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定理(dìnglǐ)
若 n 阶矩阵(jǔ zhèn) A 与 B 相似，则 A 与 B 有相同的特征多项式,
证明(zhèngmíng)
因 A 与 B 相似，即存在可逆的矩阵 P 使得
即 A 与 B 有相同的特征多项式。
从而 A 与 B 有相同的特征值。
故
一、相似矩阵的基本概念与性质
1. 相似矩阵的概念
2. 相似矩阵的性质
P144 (3)
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二、矩阵(jǔ zhèn)相似对角化的概念与问题分析
定义(dìngyì)
对于(duìyú) n 阶矩阵 A，
则称 A 可相似对角化 ；
若存在可逆的 n 阶方阵 P， 使得
记为
▲
P145
定义

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若存在可逆矩阵 P 使
则
则
特别地，
若
二、矩阵相似对角化的概念与问题(wèntí)分析
好处
(之一)
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第六页，共31页。
例
证明矩阵 不能相似对角化。
证
(反证法)
假设存在(cúnzài)可逆矩阵 P ，使得
即得
故它们有相同的特征值，
由矩阵 A 与 L 相似，
矛盾(máodùn)！
故矩阵 A 不能相似(xiānɡ sì)对角化。
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1. 问题(wèntí)分析
(1) L 如何(rúhé)构成？
L 的主对角线上的元素由 A 的全部特征值构成。
由于 是 L 的 n 个特征值，
而 A 与 L 相似(xiānɡ sì)，
因此 就是 A 的 n 个特征值 .
记为
所考虑的问题是寻找可逆的 n 阶方阵 P ，使得
即
二、矩阵相似对角化的概念与问题分析
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1. 问题(wèntí)分析
(2) P 如何(rúhé)构成？
P 的列向量由 A 的线性无关的特征向量构成。
设
即
则由 有
于是有
又因为(yīn wèi) P 可逆，
且 线性无关，
故
因此 是 A 的 n 个线性无关的特征向量 .
即
二、矩阵相似对角化的概念与问题分析
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A 有 n 个线性无关(wúguān)的特征向量，
推论
如果 n 阶矩阵 A 有 n 个不同的特征值，则矩阵 A 可以
相似(xiānɡ sì)对角化。
定理
n 阶矩阵 A 能够相似于对角矩阵 的充分必要条件是
1. 问题(wèntí)分析
2. 矩阵可相似对角化的条件
即 A 每个特征值所对
应的线性无关的特征向量的个数必须恰好等于该特征
值的重数。
二、矩阵相似对角化的概念与问题分析
P145
定理

P146 推论2
P145
推论1
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