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对称美在高等数学中的应用
提要对称美是数学美的一个重要组成部分,它普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支。本文讨论数学中的对称美,并给出了对称美在高等数学解题中的应用。
关键词:数学美;对称美;对称性
引言
古希腊哲学家、数学家普洛克拉斯曾说:“哪里有数学,哪里就有美,哪里就有发现……”数学美是数学科学的本质力量的感性和理性的显现,是自然美的客观反映,是科学美的核心。数学美的内容十分丰富,对称美是数学美的一个重要组成部分,它普遍存在于数学的各个分支。
一、数学中的对称美
(一)代数中的对称美。对称是代数中随处可见的现象。譬如,实数a与-a互为相反数,复数a+bi与a-bi互为共轭复数,导数的运算法则,(u+v)'=u'+v',(uv)'=u'v+uv',这些有着明显的对称性。还有,原函数与反函数的图像关于直线y=x对称,偶函数的图像关于y轴对称,奇函数的图像关于原点对称,都给人以赏心悦目之感。
例1古人发现的“杨辉三角”,又称贾宪三角形、帕斯卡三角形,是二项式系数在三角形中的一种几何排列。
1
11
121
1331
14641
15101051
……
它具有的性质:
(1)每行数字左右对称,由1开始逐渐变大,然后变小,回到1。
(2)第n行的数字个数为n个。
(3)第n行数字和为2(n-1)。
(4)每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个杨辉三角形。
“杨辉三角”形式上所具有的对称美和谐统一,令人叹为观止。
例2似乎黄金分割点(在?棕=)不是对称点,但若将左端点记为A,右端点记为B,黄金分割点记为C,则■=■,而且C关于中点的对称点D也是AB的黄金分割点,因为■=■,再进一步,D又是的黄金分割点,C是DB的黄金分割点。由此讨论下去,可以视为一种连环对称。
(二)几何中的对称美。几何图形的对称美是对称美最通俗、最直观的解释。在几何图形中,平行四边形是中心对称的,等腰三角形是轴对称的,球形最为特殊,它既是中心对称,又是轴对称,也是面对称的图形。正如毕达哥拉斯所说:“一切立体图形中最完美的是球形,一切平面图形中最完美的是圆。”正是由于几何图形中有这些点对称、线对称、面对称,才有了美丽的图案,有了巧夺天工的建筑,进而渲染出五彩斑斓的世界。
在几何中,许多问题的解决也运用了对称性原理。笛卡尔创建的解析几何学可以说是美学思想在数学领域的成功运用。在笛卡尔直角坐标系中,代数方程与几何图形之间建立了一种对称,使代数与几何化为一体,达成完美的统一。而在各种曲线方程标准形式的推导中,更是充分利用了图形本身的对称性。
例3Couchy总喜欢把空间里过点(x1,x2,x3)的直线方程写成对称形式:
■=■=■
其中cos?琢、cos?茁、cos?酌为直线的方向余弦;同时,他把曲面方程z=f(x,y)写成对称形式F(x,y,z)=0,这样写不仅美观,而且便于书写和记忆。
例4在笛卡尔坐标系中,伯努利双纽线?籽2=a2cos2?兹关于坐标原点对称,坐标原点是具有切线y=±x的拐点。曲线的形状类似于横写的阿拉伯数字8,更像表示无穷大的符号∞。
二、对称美的应用
(一)对称美在微分学中的应用。对称现象在微分学中并不少见。