高三复习专题向量方法求空间角和距离.doc

: .
高三复习专题：向量方法求空间角
肖冠承
在高考的立体几何试题中，求角与距离是常考查的问题，其传统的 三步曲”解 法：“作图、证明、解三角形”，作辅助线多、技巧性强， 量进入高中教材，为立体几何增添了活力，新思想、新方法与时俱进，本专题将运用 向量方法简捷地解决这些问题.
1求空间角问题
空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二面角.
(1)求异面直线所成的角
I I
a 设a、b分别为异面直线a、b的方向向量，
则两异面直线所成的角:-=arccos|
|a||b|
(2)求线面角
(3)求二面角
法一、在〉内a _1，在［内b _1，其方向如图，贝匸面角
一一的平面角，=arcco襯|
法二、设n1,n2,是二面角:的两个半平面的法向量，
其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角：-丨― 的平面角:-二arccos疏皆
m II门2丨
例1 .如图，在棱长为2的正方体 ABCD 一 ABQP中, 分别是棱AiDi,AiBi的中点.
(I) 求异面直线DE与FCi所成的角；
(II) 求BC和面EFBD所成的角；
解：(I)记异面直线DE与FC1所成的角为:-,
则:•等于向量DE与FC1的夹角或其补角，
I d^Lfc!. |
cos： =| - |
|deL|fc-i |
D-EL(FB^ B-C-)|
IDE [j FC-1
-2 2
5=5篇
2 :=arccos
5
(II )如图建立空间坐标系D-xyz,
贝S DE =(1,0,2) , DB =(2,2,0)
设面EFBD的法向量为n =(x,y,1)
由DE厂0
、DB n = 0
41
得 n =(-2,2,1) 又 BG =(-2,0,2)
记BCi和面EFBD所成的角为二
贝卩 si nr -|cosBG，n |=| BC1 n | 2
IBC1II n| 2
••• BCi和面EFBD所成的角为】.
4
设计说明：1 .作为本专题的例1,首先选择以一个容易建立空间直角坐标系
的多面体 正方体为载体，来说明空间角的向量求法易于学生理解.
2 .解决(1)后，可让学生进一步求这两条异面直线的距离，并让学生体会一下:
如果用传统方法恐怕很难(不必多讲，高考对公垂线的作法不作要求) .
3 .完成这2道小题后，总结：对于易建立空间直角坐标系的立几题，无论求
角、距离还是证明平行、垂直(是前者的特殊情况)，都可用向量方法来解决, 向量方法可以人人学会，它程序化，不需技巧.
，三棱柱中，已知 A BCD是边长为1的正方形，四边形
AA B B 是矩形，平面AA B B _平面ABCD。
(I) 若AA* = 1,求直线AB到面DAC的距离.
(II) 试问：当AA的长度为多少时，二面角
D - AC - A的大小为60 ?
解：(I)如图建立空间坐标系 A-xyz ,
贝 S DA' =(-1,1,a) DC =(0,1,0)
设面daC的法向量为m =(x,