复习4、函数的单调性.doc

复习4、函数的单调性.doc函数的性质-一-单调性复习
一、 函数的单调性：
1、 定义：对于函数定义域内任意两个Xj , x2 ? (a,b)
当也 <易时，若有/(%!)< /(%2)^函数是(，)上的增函数
当X； < x2时，若有/(%!)> /(%2) 函数是(，)上的减函数
应用：若 y = f (x)是增函数，/(%；) > f (x2) n %；x2
若 y = f 3)是减函数，/(xj > /(x2) n xi x2
2、 概念解读：
理解定义时应注意：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；如函 数在某几个区间上具有相同的单调性，在这几个区间的并集上则不一定具有单调性。
上一 〉0时，函数在心上是增函数；—~ <0时，函数在M上是减函数
X2 -Xj X2 - %!
单调性：如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上 具有单调性(区间M称为单调区间)。
3、 判断函数单调性的方法步骤：任取，作差，变形，定号，结论。
4、 最值：换元、画图、截断。
5、 简单性质：
奇函数在其对称区间上的单调性相同；(2)偶函数在其对称区间上的单调性相反；
(3)函数单调性的规则：增函数+增函数=增函数 减函数+减函数=减函数
正数•增函数=增函数；负数•增函数=减函数；正数•减函数=减函数；负数•减函数=增函数
6、 复合函数的单调性：同增异减
复合函数_y = /［g(x)］是由函数u = g(x)和_y = /构成的，
二、 求函数的单调区间：
1 1 — Y
例1⑴ 函数y = —+1的单调减区间是(3)y= ——为减函数的区间是
x 1 + x
⑶已知函数f 3) = x2 -21x1-3,画出函数的图象;指出函数的单调递增区间().
(1)=
x2-2x-1
(2)y = log广"2x)怎〉0,a N 1)
三、函数单调性的证明：
例2、证明"函数⑴尸屈尸必)在区间［2,+oo］上是增函数 例3、已知函数f(x) = x + -有如下性质：如果常数a〉0,那么该函数在(0,、扃］上是减函数，在 ［Va, +oo)±是增函数，
2b
如果函数y = x + —(x > 0)在(0,4］上是减函数，在［4, + oo)上是增函数，求b的值;
x
当a=l时，试用函数单调性的定义证明函数f(x)在(0,1］上是减函数；
设常数c e ［1,9］,求函数f(x) = x + -在［1,3］上的最大值和最小值。
x
四、函数单调性的应用：
例4(1)函数y = 3x2+ax + 4在区间［-1,1］ ±是单调函数，贝也的范围是
⑵函数f(x) =竺旦在区间(一2, +8)上单调递增，则实数a的取值范围是 ( )
x + 2
A. (0, —) B. (一 ， + °°) C. (— 2, + °°) D. (— 8, —1) U (1, + °°) 2 2
X 例5. f(x)是定义在(0, +8)上的增函数，且/(-)二
y
(1)求/W 的值.(2)若 f(6)= 1,解不等式 A x+3 )-/,(-) <2 .
X
{x)^X +^x + a , xC ［1, +°°) (1)当午上