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第九章 拉普拉斯方程的圆的狄利克雷问题的 付氏解
引言
• 引言
本章基本要求
• 本章基本要求
本章的重点和难点
• 本章的重点和难点
• 第二节 函数
函数
圆的狄利克雷问题
• 第一节 圆的狄利克雷问题
本章小结
• 本章小结
引 言
调和方程，又称 方程，是一类典型的椭
圆型方程，也是最 简单的椭圆型方程. 从物理观点来说，它是描述稳恒过程的。当我们研究的问题涉及各种物理性质是稳定(即不随时间改变)过程．可归结为椭圆型方程。如固定电场和磁场(静电学、静磁学、直流电场)，不可压缩液体的位流，温定热场(或称稳定的稳度场)等等，描述这些现象的方程为椭圆型方程。
本章学习基本要求
在学习这一部分内容时,除了弄清该方程及相应定解问题的
提法与其物理背景以外,还需要掌握的内容有：
(1) 掌握圆的 Dirichlet 问题
(2) 会用分离变量法解矩形，圆形域等区域上的拉普拉斯方程
的边值问题.
（3）掌握 函数的定义及其性质.
（4）掌握在一些特殊区域中对某些定解问题的求解方法；
包括解的显式表达式的导出.
本章的重点和难点
本章的重点:
本章的难点:
函数的定义及其性质.
函数的性质.
(1) 会用分离变量法求解矩形，圆形域等区域上的拉普拉斯方
程的边值问题.
(2)
第一节 圆的狄利克雷问题
9. . 定解问题的提法
. 定解问题的付氏解法
9. . 定解问题的提法
我们在第七,第八章中通过几个不同的物理模型推导出了两种典型的数学物理方程即波动方程与热传导方程.
(二维的热传导方程.)
(三维的热传导方程)
(二维的波动方程.)
(三维的波动方程.)

在以上所讨论的热传导现象和波动现象中的位移函数和温度函数，都是随时 ，
即它们已经处于稳定状态,或者说，变化相当小，以致可以看
成与时间 无关，
这时， , 而方程
称上面的方程为 方程(泊松方程).
或
变为
(1)
(2)
等式左边常简记为 , 即方程为
调和方程或 Poisson 方程还可以从多种物理问题中导出，
方程(1) (2)变为
如果
(3)
我们称方程(3)为拉普拉斯(Laplace)方程或调和方程
也可以从纯数学的角度推出
一个复解析函数 的实部与虚部满足.
Cauchy-Riemann方程：
容易由该两方程推知 与 分布满足 与
注:
(1) ,即不含时间变量,所以在讨论定解问题时,不能附加初始条件,.
同前一样, Laplace方程描述的不是一个物理现象,而描述的是一
,还可以从其它的物理
:可以从波动方程中来推出,也可从纯数学的角度
来推出.