实数知识点归纳及典型例题.doc

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实数知识点归纳及典型例题
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实数知识点归纳及典型例题
第十三章实数 ----知识点总结
一、算术平方根
1. 算术平方根的定义：一般地，如果的等于 a，即，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根． a 的算术平
方根记为，读作“根号 a〞， a 叫做．
规定： 0 的算术平方根是 0.
也就是，在等式 x2 a (x ≥ 0) 中，规定 x a 。
理解： x 2 a(x ≥ 0) x a
a 是 x 的平方 x 的平方是 ax 是 a 的算术平方根 a 的算术平方根是 x
2. a 的结果有两种情况：当 a 是完全平方数时， a 是一个有限数；
当 a 不是一个完全平方数时， a 是一个无限不循环小数。
当被开方数扩大 ( 或缩小 ) 时，它的算术平方根也扩大 ( 或缩小 ) ；
夹值法及估计一个〔无理〕数的大小〔方法：〕
二、平方根
1. 平方根的定义：如果的平方等于 a，那么这个数 x 就叫做 a 的．即：如果，那么 x 叫做 a 的．
理解： x 2 a<— > x a
a 是 x 的平方 x 的平方是 ax 是 a 的平方根 a 的平方根是 x
开平方的定义：求一个数的的运算，叫做．开平方运算的被开方数必须是才有意义。
3. 平方与开平方： 3 的平方等于 9，9 的平方根是 3
一个正数有平方根，即正数进行开平方运算有两个结果；一个负数平方根，即负数不能进行开平方运算
5. 符号：正数 a 的正的平方根可用 a 表示， a 也是 a 的算术平方根；
正数 a 的负的平方根可用 - a 表示．
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平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：
区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；
联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。三、立方根
1. 立方根的定义：如果的等于 a ，这个数叫做 a 的〔也叫做〕，即如果，那么 x 叫做 a 的立方根。
一个数 a 的立方根，记作 3 a ，读作：“三次根号 a 〞，
其中 a 叫被开方数， 3 叫根指数，不能省略，假设省略表示平方。
理解： x3 a <— > x 3 a
a 是 x 的立方 x 的立方是 ax 是 a 的立方根 a 的立方根是 x
一个正数有一个正的立方根； 0 有一个立方根，是它本身；一个负数有一个负的立方根；任何数都有唯一的立方根。
利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性，
求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数，即 3 a 3 a a 0 。
四、实数
有理数