中线倍长法与截长补短经典讲义全.doc

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几何证明中常用辅助线
(一)中线倍长法:
例1 、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。
已知：如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：AD ﹤ (AB+AC)
小结：涉与三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。它可以将分居中线两旁的两条边AB、AC和两个角∠BAD和∠CAD集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。
例2、中线一倍辅助线作法
△ABC中 方式1： 延长AD到E，
AD是BC边中线 使DE=AD，
连接BE
方式2：间接倍长
方式3：作CF⊥AD于F， 延长MD到N，
作BE⊥AD的延长线于E 使DN=MD，
连接BE 连接CD
例3、△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值围
已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE
课堂练习：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，
求证：∠C=∠BAE
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作业：
1、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论
2、已知：如图，DABC中，ÐC=90°，CM^AB于M，AT平分ÐBAC交CM于D，交BC于T，过D作DE//AB交BC于E，求证：CT=BE.
3：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF
图1-1
（二）截长补短法
教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，在无法进行直接证明的情形下，.
已知，如图1-1，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠：∠BAD+∠BCD=180°.
图1-2
分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.
证明：过点D作DE垂直BA的延长线于点E，作DF⊥BC于点F，如图1-2
∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，
在Rt△ADE与Rt△CDF中，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL),∴∠DAE=∠DCF.
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又∠BAD+∠DAE=