求数列通项公式的11种方法1.docx

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求数列通项公式的11种方法方法
总述：一-利用递推关系式求数列通项的 11种方法：
累加法、
累乘法、
待定系数法、
阶差法(逐差法)、
迭代法、
对数变换法、
倒数变换法、
换元法(目的是去递推关系式中出现的根号)
数学归纳法(少用)
不动点法(递推式是一个数列通项的分式表达式) 、
特征根法
二•四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、等比数 列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。
三•求数列通项的方法的基本思路是： 把所求数列通过变形，代换转化为等级差数列或等比
数列。
四-求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。
五-数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
一、累加法
•适用于：an 1 an f(n) 这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。
•若 am anf (n) (n 2),
aaai f (1)
则a3 a2 1⑵
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1
则I
am anf (n)
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2
两边分别相加得 amai f(n)
k1
例1已知数列｛例｝满足例1
解：由 3n 1 Sn 2n 1 得 3n
1 3n
2n 1 贝 ij
不 (an am)(an 1 an 2 ) (asa?)(a2aj 印
[2( n 1) i][2(n 2) 1] (2 2 1)(2 1 1)1
2[(n 1) * in 2 1] (n 1) 1
/ 201用
2 (n 1)
(n 1)(n 1)1
2
n
所以数列｛%｝的通项公式为
3n
例2已知数列｛an｝满足 % 1
an 2 3n 1 , ai 3，求数列｛an｝的通项公 式。
解法一：由an 1 an
3n । 得an 2 3nl 则
an
(3n a (2 i) (3n 3n2(3n 1)(2
123(1 3n2 III
1 3n1)
3 3 (n
3n n 1
an 2) 3n2 1) 32 31)
1)3
in(2
1)
a?) (a2 ai)J
32 1) (23 1 1)3
所以
3n
3n
1.
解法二：an - 2 3n 1两边除以3讨,得
3n 2
-
3 3
an2nl，ai 1 ,求数列｛a.｝的通项公式。
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3
3n
3n an 1 )(
3A
3n 1
(I (2
2(n 3n)(3
卫(1
3 J
an 3 比耳耳
3nA) >32 3^ -3
(2 HI
1
因此我
2(n
3n1)
2n
则an
3n
3n
练习
1 .已知数列
3n
的首项为
Q an an 2n(fl
)写出数列 an的通项公式.
练习2,已知数列〜吊 满足ai
an an n(m)(n 2)
，求此数列的通项公式•
3n
答案：裂项求和
评注：已知a1 dn
an f(n),其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、
指数函 分式函数，求通项 n
数、
①若f(n)是关 n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和 于
②若f(n)是关 n的二次函数，累加后可分组求和 于
③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和
④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求
和。
C Sn )
例3 •已知数中，an °且 2 an，求数列的通项公式 列
Sn 解：由已知
1 n
(3n ) Sn
2 3n得
1
(Sn Sn 1
2
n
)
Sn Sn 1
化简有s： s： 1
由类型(1)有
Sn
s2
s Sn
乂 1翻得al j所以
2n(n 1)
又an
2
J2nm 1)
0 sn
2n(n—1) 2nm 1)
3n
则
此题也可以用数学归纳法来求解
二、累乘法
1 •适用 am f(n)an
于：
累乘法是最基本的二个方法之
二 O
这是广义的等比数列
2 •若加
3n
f(n)J[J a ai
an f(n)
两边分别相乘得,
an 1
ai
f(k)
例4已知数列｛an｝满足an
2(n
1)5n an, ai 式。
3 ,求数列｛an｝的通项公
解:因为 an 12(n 1)5
所以an 0视广2(n 1)5n，故
3n
an
an 一
an1 an 2 32 ai
[