求数列通项公式的十种方法.docx

求数列通项公式的十一种方法(方法全，例子全，归纳细)
总述： 11种方法：
累加法、
累乘法、
待定系数法、
阶差法(逐差法)、
迭代法、
对数变换法、
倒数变换法、
换元法(目的是去递推关系式中出现的根号) 、
数学归纳法、
不动点法(递推式是一个数列通项的分式表达式) 、
特征根法
二。四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、 等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。
.求数列通项的方法的基本思路是： 把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数
列。
.求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。
.数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
一、累加法
.适用于：an 1 an f(n) 这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。
.若 an 1 an f (n) (n 2),
a2 a〔 f(1)
则a3 a2 f⑵
an 1 an f (n)
两边分别相加得 an 1 a1
n
f(n)
例1已知数列｛an｝满足an 1 an 2n 1, ai 1,求数列｛an｝的通项公式。
例1已知数列｛an｝满足an 1 an 2n 1, ai 1,求数列｛an｝的通项公式。
解：由 an〔 an 2n 1 得 an 1
an 2n 1 则
an (an
[2(n 2[(n
2(n
an 1) (an 1
an
2)…(a3 a?)
(n
2 n
1)
1)
1)n
-2
1)(n
1] [2(n (n 2)
(n 1)
1) 1
所以数列
2) 1]…(2 2
1] (n
1) 1
｛4｝的通项公式为
an
例2已知数列｛an｝满足an 1
an
2 3n
1,司
解法一：由 an〔 an 2 3n
1 得 an 1 an
an (an an 1) (an 1
n 1
(2 3 1)
n 1 n 2
2(3 3
n 1、
2 3(1 3 )
(2
an 2
3n 2
1)…(2
_2 」
3 3) (n 1)
(a2 a1)为
1) (2 1 1) 1
3,求数列
｛an｝的通项公式。
2 3n
a2)
32
(a2
a1)
ai
1)
(2
31
1) 3
3n
3n
(n
1) 3
所以an
3n
1.
解法二：an
3an
2 3n
1两边除以3n 1 ,得a4 3n 1
an
3n
an 1
3n
an 2
3n 3
an
3n
an
4
an 1 )
2
(3
2(n
3
an
1
1)
(an 1
2 (3 (3n
an 1
1
3n 1
1
3n
an 2)
3n 2
(an 2
3n 2
an 3、
中）一 3
-1) c
3 3
2
) q
1
3n 1
1
3n 2
1
3n 2
例1已知数列｛an｝满足an 1 an 2n 1, ai 1,求数列｛an｝的通项公式。
例1已知数列｛an｝满足an 1 an 2n 1, ai 1,求数列｛an｝的通项公式。
例1已知数列｛an｝满足an 1 an 2n 1, ai 1,求数列｛an｝的通项公式。
例1已知数列｛an｝满足an 1 an 2n 1, ai 1,求数列｛an｝的通项公式。
因此an 2(n 1
3n
[(1 3n 1) 3
1 3
2n 1
3n
则an
2 n 3n
3
练习

an
的首项为
，且 an 1
2n(n N
)写出数列 an的通项公式.
2
答案：n
练习
｛an｝
满足
an an
n(n 1)
(n
2)
,求此数列的通项公式.
答案：裂项求和
an 2
评注：已知a1 a an
an
f(n),其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函
数、分式函数，求通项 an
①若
f(n)是关于n的一次函数,
累加后可转化为等差数列求和
②若
f(n)是关于n的二次函数,
累加后可分组求和
③若
f(n)是关于n的指数函数,
累加后可转