数学建模 自习室管理系统.doc

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一．问题重述：
近年来，大学用电浪费比拟严重，集中表现在学生上晚自习上，一种情况是去某个教室上自习的人比拟少，但是教室的灯却全部打开，第二种情况是晚上上自习的总人数比拟少，但是开放的教室比拟多，这要求提供一种最节约、最合理的管理方法。根据题目所给出的数据，有以下问题。数据见表。
假设学校有8000名同学，每个同学是否上自习相互独立，%，开放的教室满座率不低于4/5，同时尽量不超过90%。问该安排哪些教室开放，能达到节约用电的目的。
在第一问根底上，假设这8000名同学分别住在10个宿舍区，现有的45个教室分为9个自习区，按顺序5个教室为1个区，即1,2,3,4,5为第1区，…，41,42,43,44,45为第9区。这10个宿舍区到9个自习区的距离见表2。学生到各教室上自习的满意程度与到该教室的距离有关系，距离近如此满意程度高，距离远如此满意程度降低。假设学生从宿舍区到一个自习区的距离与到自习区任何教室的距离一样。请给出合理的满意程度的度量，并重新考虑如何安排教室，既达到节约用电目的，又能提高学生的满意程度。另外尽量安排开放同区的教室。
假设临近期末，上自习的人数突然增多，，要使需要上自习的同学满足程度不低于99%，开放的教室满座率不低于4/5，同时尽量不超过95%。这时可能出现教室不能满足需要，需要临时搭建几个教室。假设现有的45个教室仍按问题2中要求分为9个区。搭建的教室紧靠在某区，每个区只能搭建一个教室，搭建的教室与该区某教室的规格一样〔所有参数一样〕，学生到该教室的距离与到该区任何教室的距离假设一样。问至少要搭建几个教室，并搭建在什么位置，既达到节约用电目的，又能提高学生的满意程度。
表格见附录1。
需要研究的问题：
统计出上自习的人数和所需要的座位数
把节约用电作为问题一的约束条件求解
根据宿舍区到自习区的距离〔附录1表2〕构造学生上自习满意程度的函数
在解决问题一的根底上，同时考虑节约用电和满意程度配置开放自习教室，进展多目标规划。
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改变约束条件，重新计算上自习人数和所需要的座位数
考虑搭建假设干个教室提供足够座位给期末时上自习人数，同时兼顾提高满意度和节约用电的要求
二．模型设计和求解：
〔一〕．模型假设：
每个同学上自习相互独立，且概率一样
每个同学随机选择自习教室，不受距离、楼层等因素的干扰
计算过程中，座位数和教室数满足整数的要求
满意度只与学生区到自习区的距离有关
情况1：学生人数共8000人， 学生区不对总人数进展平均分配即不考虑10个学生区人数的居住分配情况
情况2：10个学生区，每个区域平均配置即居住有学生800名
6． 问题3中在未搭建临时教室之前10个学生区中没有座位的人数一样
7． 假设某教室开放，如此此教室所有灯管全部打开
8． 不考虑搭建临时教室的本钱问题
〔二〕．符号说明：
符号
含义
n
样本容量
上自习事件的概率分布
为0或1，分别表示第i号自习教室关闭或开放
k
上自习的可能人数
为第号教室单盏灯管消耗功率〔瓦/每只〕
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为第号教室所含灯管数
为第号教室消耗总功率
为第号教室拥有座位数
r
所需座位数
，
满意度函数所用系数
从i学生区到j自习区的满意度
从i学生区到j自习区的人数
从i学生区到j自习区的距离
第号自习区提供的座位数
可在第号自习区的上自习人数上限
目标函数的加权系数
Ai
设宿舍区依次为A1,A2,…,A10
Bi
自习区为B1,B2,…,B9
与第号教室规格一样的搭建教室
的选择变量
q
所有教室总座位数
所有教室总的最小功率
总的最大满意度
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〔三〕．解题思路与过程：
问题1
基于题目情况，根据题目所给的表格，运用概率统计的相关知识，分析和计算学生上自习的人数以与所需要的座位数目。然后根据节约用电的原如此，把耗电最小作为教室选择的约束条件，得到结果。具体步骤如下：
〔1〕．计算所需座位数
此问题符合概率统计中的二项分布。
由于样本值较大，如此可以用正态分布对二项分布进展近似计算。应用“棣莫弗一拉普拉斯( DeMoivre-Laplace)定理〞进展样本计算。将满足程度