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四年级抽屉原理.doc四年级抽屉原理
四年级抽屉原理
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四年级抽屉原理
抽屉原理
知识结构
一、知识点介绍
抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中
的问题，因此，也被称为狄利克雷原则．抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可
以解决很多有趣的问题， 并且常常能够起到令人惊奇的作用． 许多看起来相当复杂， 甚至无从下手的问题，
在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决．
二、抽屉原理的定义
（1） 举例
桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。
（2） 定义
一般情况下，把 n＋1 或多于 n＋ 1 个苹果放到 n 个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹
果。我们称这种现象为抽屉原理。
三、抽屉原理的解题方案
（一）、利用公式进行解题
苹果÷抽屉＝商 余数
余数：（ 1）余数＝ 1，
结论：至少有（商＋ 1）个苹果在同一个抽屉里
（ 2）余数＝ x 1
x
n 1 ， 结论：至少有（商＋ 1）个苹果在同一个抽屉里
（ 3）余数＝ 0，
结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里
（二）、利用最值原理解题
将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法．
例题精讲
一、直接利用公式进行解题
【例 1 】 “六一 ”儿童节，很多小朋友到公园游玩，在公园里他们各自遇到了许多熟人．试说明：在游园
的小朋友中，至少有两个小朋友遇到的熟人数目相等．
【考点】抽屉原理 【难度】 3 星 【题型】解答
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四年级抽屉原理
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四年级抽屉原理
【解析】 略．
【答案】假设共有 n 个小朋友到公园游玩，我们把他们看作 n 个 “苹果 ”，再把每个小朋友遇到的熟人数目
看作 “抽屉 ”，那么， n 个小朋友每人遇到的熟人数目共有以下 n 种可能： 0，1，2， ， n 1．其
中 0 的意思是指这位小朋友没有遇到熟人； 而每位小朋友最多遇见 n 1个熟人，所以共有 n 个“抽
屉 ”．下面分两种情况来讨论：
⑴ 如果在这 n 个小朋友中，有一些小朋友没有遇到任何熟人，这时其他小朋友最多只能遇上 n 2 个熟人，
这样熟人数目只有 n 1 种可能： 0， 1， 2， ， n 2 ．这样， “苹果 ”数 ( n 个小朋友 )超过 “抽屉 ”数 ( n 1 种
熟人数目 )，根据抽屉原理，至少有两个小朋友，他们遇到的熟人数目相等．
⑵ 如果在这 n 个小朋友中， 每位小朋友都至少遇到一个熟人， 这样熟人数目只有 n 1 种可能： 1，2，3， ，
1．这时， “苹果 ”数 ( n 个小朋友 )仍然超过 “抽屉 ”数 ( n 1 种熟人数目 )，根据抽屉原理，至少有两个小朋友，他们遇到的熟人数目相等．
总之，不管这 n 个小朋友各遇到多少熟人 (包括没遇到熟人 )，必有两个小朋友遇到的熟人数目相等
【巩固】 五年级数学小组共有 20 名同学，他们在数学小组中都有一些朋友， 请你说明： 至少有两名同学，
他们的朋友人数一样多．
【考点】抽屉原理 【难度】 3 星 【题型】解答
【解析】 略．
【答案】数学小组共有 20 名同学，因此每个同学最多有 19 个朋友；又由于他们都有朋友，所以每个同学
至少有 1 个朋友． 因此，这 20 名同学中， 每个同学的朋友数只有 19 种可能： 1，2，3， ，19．把
这 20 名同学看作 20 个 “苹果 ”，又把同学的朋友数目看作 19 个 “抽屉 ”，根据抽屉原理，至少有 2
名同学，他们的朋友人数一样多
【例 2 】 证明：任取 8 个自然数，必有两个数的差是 7 的倍数．
【考点】抽屉原理 【难度】 3 星 【题型】解答
【解析】 略．
【答案】在与整除有关的问题中有这样的性质，如果两个整数 a、b，它们除以自然数 m 的余数相同，那
么它们的差 a b 是 m 的倍数 .根据这个性质，本题只需证