计数原理及二项式定理概念公式总结.docx

计数原理及二项式定理概念公式总结
计数原理及二项式定理概念公式总结
计数原理及二项式定理概念公式总结
排列组合及二项式定理概念及公式总结
分类计数原理：做一件事情，完成它可以有 n 类办法，在第一类办法中有 m1 种
不同的方法， 在第二类办法中有 m2 种不同的方法， ，在第 n 类办法中有 mn
种不同的方法 那么完成这件事共有 N=m1+m2+ +mn 种不同的方法
分步计数原理： 做一件事情，完成它需要分成 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法， ，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事有 N=m1× m2× mn 种不同的方法
分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整”
两个计数原理的区别 :
如果完成一件事， 有 n 类办法，不论哪一类办法中的哪一种方法， 都能独立完成
这件事 , 用分类计数原理，
如果完成一件事需要分成几个步骤， 各步骤都不可缺少， 需要完成所有步骤才能完成这件事，是分步问题 , 用分步计数原理 .
排列 : 从 n 个不同的元素中取出 m个(m≤n) 元素并按一定的顺序排成一列 , 叫做从 n 个不同元素中取出 m个元素的一个排列 .
（ 1） 排列数 : 从 n 个不同的元素中取出 m个 (m≤ n) 元素的所有排列的个数 . 用符号 Anm 表
示
（ 2）排列数公式 : Anm n(n 1)(n 2) (n m 1)
或 Anm
n!
n, m N , m n
(n
m)!
Ann =n! =n n
1
3 2 1=n(n-1)! 规定 0 ！=1
组合：一般地，从 n 个不同元素中取出 m m n 个元素并成一组， 叫做从 n 个
不同元素中取出 m 个元素的一个组合
（1）组合数 : 从 n 个不同元素中取出
m m
n 个元素的所有组合的个数，用
C nm 表示
（ 2）组合数公式 :
m Anm
n(n
1)(n
2)L (n m 1)
或
Cn
m!
Amm
C mn
n!
(n, m N , 且m n)
m!( n
m)!
（3）组合数的性质：
① C nm
Cnn m ．规定： C n0
1 ；
② C nm
1 ＝ C nm +C nm 1 .
③ Cn0
Cn1
Cn3
L L Cnn
2n
④ C nn 1
C n1
n
⑤ Cnn
1
二项式定理及其特例：
（ 1）二项式定理
a
n
Cn0 a n
C n1a n 1b
C nk a n k bk
C nn b n n N
b
展开式共有 n+1 项，其中各项的系数 C nk k
0,1,2,
, n 叫做二项式系数。
（ 2）特例： (1
x) n
1
Cn1 x L
Cnr xr
L