二次极限与二重极限.doc

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二重极限和二次极限
设 ，当 时 的极限是 同时趋向于 时所得到的．此外，我们还要讨论 先后相继地趋于 时的极限；前者称为二重极限，后者称为二次极限．
若对任一固定的 ，当 时， 的极限存在
而 在 时的极限也存在并等于A，亦即 ，那末称A为 先对 、后对 的二次极限，记为
同样可定义先对 、后对 的二次极限
我们必须注意有以下几种情形： ’
(1)两个二次极限都不存在而二重极限仍有可能存在．例如
由于 和 在 和 的函数极限不存在，故在(o，o)点的两个二次极限都不存在，但因为，
故
(2)两个二次极限存在而不相等．例如
由于 时恒有 ·，
故
同理
(3)两个二次极限存在且相等，但二重极限仍可能不存在。例如
当 时，二重极限不存在，但两个二次极限都为零．
由此可知二次极限存在与否和二重极限存在与否，二者之问没有什么关系．但可以证明：若某个二次极限和二重极限都存在，则二者一定相等，因之若两个二次极限存在而不相等，则二重极限一定不存在．又，若两个二次极限存在并且相等，即若
我们说二次极限可以交换求极限的次序．
还应当注意，当 时， 的二重极限如果是A，则意味着P以任何方式(而不仅仅是任何方向)趋于 时， 均趋于A，假若P仅从任何方向(而不是任何方式)趋于 时，都趋于数A, 的二重极限仍可能不存在．例如函数
便是如此．点 以任何方向趋于点 时，读者可以验证， 均趋于零，但当点户沿曲线
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趋于 时显然 趋于1，故当 时， 的二重极限不存在．这正如有人所说，“从一元函数转换到多元函豢时，是会出现某些在原则上是新的东西的”．其所以如此，在于高维空间几何性质的复杂性．