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圆知识点总结
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圆知识点总结
一、圆的概念
集合形式的概念：
圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
轨迹形式的概念：
圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；
二、圆的对称性
1、圆的轴对称性：圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴。
2、圆的中心对称性：圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。
三、垂径定理及其推论
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。
推论1：
①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
垂径定理及其推论可概括为：
过圆心
垂直于弦
直径 平分弦 知二推三
平分弦所对的优弧
平分弦所对的劣弧

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在⊙中，∵∥
∴弧弧
三、圆心角定理
①圆心角定理： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，
只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，
即：①；②；
③；④ 弧弧
②圆心角的度数与它所对弧的度数相等。
三、圆周角定理及其推论
1、圆周角 顶点在圆上，并且它的两边在圆内的部分是圆的两条弦，像这样的角叫做圆周角。
2、圆周角定理：圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半。
3、圆周角定理的推论
1、直线与圆相离 无交点；
2、直线与圆相切 有一个交点；
3、直线与圆相交 有两个交点；
（3）圆与圆的位置关系
外离（图1） 无交点 ；
外切（图2） 有一个交点 ；
相交（图3） 有两个交点 ；
内切（图4） 有一个交点 ；
内含（图5） 无交点 ；

六、切线的性质与判定定理
（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线；
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：∵且过半径外端
∴是⊙的切线
证明切线的方法：
已知直线过圆上点，作连接证明垂直；
②未知直线过圆上点，作垂直证明等于半径
补充：点到直线的距离公式
（2）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
（3）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：∵、是的两条切线
∴
平分
七、弧长和扇形面积
1、弧长公式：n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为
2、扇形面积公式：（其中n是扇形的圆心角度数，R是扇形的半径，l是扇形的弧长。）
3、圆锥的侧面积：（其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的地面半径。）
八、补充
（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。
即：在⊙中，∵弦、相交于点，
∴

（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
即：在⊙中，∵直径，
∴
（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
即：在⊙中，∵是切线，是割线
∴
（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。
即：在⊙中，∵、是割线
∴
（5）弦切角定理
弦切角：圆的切线与经过切点的弦所夹的角，叫做弦切角。
弦切角定理：弦切角等于弦与切线夹的弧所对的圆周角。