三角形四心问题.doc

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三角形四心问题
三角形四心问题
七、三角形四心问题
一、四心的观点介绍
1）重心——中线的交点：重心将中线长度分红2： 1；
2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；
3）心里——角均分线的交点 （内切圆的圆心） ：角均分线上的随意点到角两边的距离相等；
4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心） ：外心到三角形各极点的距离相等。二、四心与向量的联合
（1） OA
OB
OC
0 O 是
ABC 的重心 .
证法 1：设 O ( x, y), A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C (x3 , y3 )
x1
x2
x3
(x1
x) ( x2
x) ( x3
x) 0
x
3
OA
OB
OC
0
y) ( y2
y) ( y3
y) 0
y1
y2
y3
( y1
y
3
O是 ABC的重心.
证法 2：如图
OA OB OC
OA 2OD0
AO 2OD
A、O、D 三点共线，且O 分 AD
为 2：1
O 是ABC 的重心
（2） OA OB
OB OC OC OA
O为 ABC的垂心 .
证明：如下图
O是三角形 ABC的垂心， BE垂直 AC， AD垂直 BC， D、 E 是垂足 .
OA OB
OB OC
OB(OA OC)
OBCA 0
OB
AC
同理 OA
BC ，OC
AB
O 为
ABC 的垂心
（3）设a , b , c是三角形的三条边长， O是ABC的心里
aOA bOB cOC 0O 为ABC 的心里.
证明：AB、AC分别为 AB、AC 方向上的单位向量，
cb
AB AC
均分BAC ,
cb
AO( ABAC )，令bc
cba b c
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AO
bc
AB
AC
a
（
c
)
b c
b
化简得 (a
b
c)OA
b AB
c AC 0
aOA
bOB
cOC
0
（4）OAOBOCO 为ABC 的外心。
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三、例题剖析
例1 ：
OP OA

O 是平面上必定点，
(AB AC)，

0,

A、B、 C 是平面上不共线的三个点，动点
，则点 P 的轨迹必定经过ABC 的

P 知足
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例 2 ：

O

是平面上必定点，

A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点

P

知足
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OP

OA

(

AB

AC)，

0,

，则点

P 的轨迹必定经过

ABC 的
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A