高中数学函数知识点(详细).doc

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第二章 函数
一．函数
1、函数的概念：
〔1〕定义：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：=，∈A．其中，叫做自变量，的取值围A叫做函数的定义域；与的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{| ∈A }叫做函数的值域．
〔2〕函数的三要素：定义域、值域、对应法如此
〔3〕一样函数的判断方法：①表达式一样〔与表示自变量和函数值的字母无关〕；②定义域一致 (两点必须同时具备)
2、定义域：
〔1〕定义域定义：函数的自变量的取值围。
〔2〕确定函数定义域的原如此：使这个函数有意义的实数的全体构成的集合。
〔3〕确定函数定义域的常见方法：
①假如是整式，如此定义域为全体实数
②假如是分式，如此定义域为使分母不为零的全体实数
例:求函数的定义域。
③假如是偶次根式，如此定义域为使被开方数不小于零的全体实数
求函数 的定义域。
求函数的定义域。
④对数函数的真数必须大于零
⑤指数、对数式的底必须大于零且不等于1
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⑥假如为复合函数，如此定义域由其中各根本函数的定义域组成的不等式组来确定⑦指数为零底不可以等于零，如
⑧实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
〔4〕求抽象函数〔复合函数〕的定义域
函数的定义域为[0,1]求的定义域
函数的定义域为[0,1〕求的定义域
3、值域 :
〔1〕值域的定义：与相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
〔2〕确定值域的原如此：先求定义域
〔3〕常见根本初等函数值域：
一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数〔正余弦、正切〕
〔4〕确定函数值域的常见方法：
①直接法：从自变量的围出发，推出的取值围。
例：求函数的值域。
解：∵，∴，
∴函数的值域为。
②配方法：配方法是求“二次函数类〞值域的根本方法。形如的函数的值域问题，均可使用配方法。
例：求函数〔〕的值域。
解：，
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∵，∴，∴
∴，∴
∴函数〔〕的值域为。
③别离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用别离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。
例：求函数的值域。
解：∵，
∵，∴，
∴函数的值域为。
④换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如〔、、、均为常数，且〕的函数常用此法求解。
例：求函数的值域。
解：令〔〕，如此，
∴
∵当，即时，，无最小值。
∴函数的值域为。
⑤判别式法：把函数转化成关于的二次方程；通过方程有实数根，判别式
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，从而求得原函数的值域，形如〔、不同时为零〕的函数的值域，常用此方法求解。
例：求函数的值域。
解：由变形得，
当时，此方程无解；
当时，∵，∴，
解得，又，∴
∴函数的值域为
值域为
练习：求函数的值域
4、函数的表示方法
〔1〕解析法、列表法、图象法
〔2〕求函数解析式的常见方法：
①换元法
例：, 求的解析式.
例：假如,求.
例：求.
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②解方程组法
例：设函数满足+2 f〔〕= 〔≠0〕，求函数解析式.
一变：假如是定义在R上的函数，，并且对于任意实数，总有求。〔令x=0，y=2x〕
③待定系数法
例：是一次函数，并且求
解：设，如此
如此，解得或
故所求一次函数解析式或
④配变量法
例：, 求的解析式.
例：假如,求.
⑤特殊值代入法〔取特殊值法〕
例：假如,且，
求值.
例：设是上的函数，且满足并且对任意实数有
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求的表达式
解：设如此
即
或设如此
⑥利用给定的特性〔奇偶性周期性〕求解析式.
例：对∈R,满足,且当∈[－1,0]时,求当∈[9,10]时的表达式.
解析：，如此如此，T=2
5、分段函数
(1)定义：在函数的定义域，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数。
(2)注意：分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集；
分段函数是一个函数，而不是几个函数；
写分段函数定义域时，区间端点不重不漏。
6、复合函数
如果如此 称为、的复合函数。
7、函数图象问题