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卡尔曼滤波
前言
卡尔曼滤波器是在估计线性系统状态的过程中，以最小均方差为目的而推导出的几个递推数学等式,也可以从贝叶斯推断的角度来推导。
本文将分为两部分：
第一部分，结合例子，从最小均方差的角度，直观地介绍卡尔曼滤波的原理，并给出较为详细的数学推导。
第二部分，通过两个例子给出卡尔曼滤波的实际应用。其中将详细介绍一个匀加速模型，并直观的对比系统状态模型的建立对滤波的影响。第一部分
先看一个对理解卡尔曼滤波能起到作用的的笑话:
一片绿油油的草地上有一条曲折的小径,:从起点沿着小径走到树下.
“很简单.” A说,于是他丝毫不差地沿着小径走到了树下.
现在，难度被增加了：蒙上眼。
“也不难，我当过特种兵。” B说，于是他歪歪扭扭地走到了树旁。“唉，好久不练，生疏了。” （只凭自己的预测能力）
“看我的，我有 DIY 的 GPS！” C说，于是他像个醉汉似地歪歪扭扭的走到了树旁。“唉，这个 GPS 没做好，漂移太大。”（只依靠外界有很大噪声的测量）
“我来试试。” 旁边一也当过特种兵的拿过 GPS, 蒙上眼，居然沿着小径很顺滑的走到了树下。（自己能预测+测量结果的反馈）
“这么厉害！你是什么人?”
“卡尔曼 ! ”
“卡尔曼？！你就是卡尔曼？”众人大吃一惊。
“我是说这个 GPS 卡而慢。”
此段引用自 highgear 的 《授之以渔：卡尔曼滤波器...大泄蜜...》 (点击可跳转到该网页)
这个小笑话很有意思的指出了卡尔曼滤波的核心，预测+测量反馈，记住这种思想。
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在介绍卡尔曼滤波前，简单说明几个在学卡尔曼过程中要用到的概念。即什么是协方差，它有什么含义，以及什么叫最小均方差估计，什么是多元高斯分布。如果对这些有了了解，可以跳过，直接到下面的分割线。
均方差：它是"误差"的平方的期望值（误差就是每个估计值与真实值的差），也就是多个样本的时候，均方差等于每个样本的误差平方再乘以该样本出现的概率的和。
方差：方差是描述随机变量的离散程度，是变量离期望值的距离。
注意两者概念上稍有差别，当你的样本期望值就是真实值时，两者又完全相同。最小均方差估计就是指估计参数时要使得估计出来的模型和真实值之间的误差平方期望值最小。
两个实变量之间的协方差：
它表示的两个变量之间的总体误差，当Y=X的时候就是方差。下面说说我对协方差的通俗理解，先抛去公式中的期望不谈，即假设样本X,Y发生的概率就是1，那么协方差的公式就变成了：

这就是两个东西相乘，马上联想到数值图像里的相关计算。如果两个变量的变化趋势一致，也就是说如果其中一个大于自身的期望值，另外一个也大于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是正值。如果两个变量的变化趋势相反，即其中一个大于自身的期望值，另外一个却小于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是负值。协方差矩阵只不过就是元素多了组成了矩阵，其中协方差矩阵的对角线就是方差，具体公式形式请见wiki。
其实，这种相乘的形式也有点类似于向量投影，即两个向量的内积。再远一点，联想到傅里叶变换里频谱系数的确定，要确定一个函数f(x)在某个频率w上的频谱，就是<f(x),cos(wt)>,<
,>表示向量内积，通俗的讲是将f(x)投影到cos(wt)上，要讲清傅里叶的本质需要另写一篇博文，这里提到这些只是觉得有益于对知识的相互理解。
多元高斯分布：就是高斯分布的低维向高维的扩展，图像如下。对应多元高斯分布的公式也请自行谷歌，以前高斯公式中的方差也变成了协方差，对应上面三张图的协方差矩阵分别如下：

注意协方差矩阵的主对角线就是方差，反对角线上的就是两个变量间的协方差。就上面的二元高斯分布而言，协方差越大，图像越扁，也就是说两个维度之间越有联系。-----------------------------------------------------------分割线-------------------