计算坐标与坐标方位角基本公式.doc

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二 计算坐标与坐标方位角的根本公式
控制测量的主要目的是通过测量和计算求出控制点的坐标，控制点的坐标是根据边长与方位角计算出来的。下面介绍计算坐标与坐标方位角的根本公式，这些公式是矿山测量工中最根本最常用的公式。
一、坐标正算和坐标反算公式
1．坐标正算
根据点的坐标和点到待定点的坐标方位角、边长计算待定点的坐标，这种计算在测量中称为坐标正算。
如图5—5所示，A点的坐标为、，A到B的边长和坐标方位角分别为和，如此待定点B的坐标为
｝ 〔5—1〕
式中 、——坐标增量。
由图5—5可知
｝ 〔5—2〕
式中 ——水平边长；
——坐标方位角。
将式〔5-2〕代入式〔5-1〕，如此有
｝ 〔5—3〕
当A点的坐标、和边长与其坐标方位角为时，就可以用上述公式计算出待定点B的坐标。式〔5—2〕是计算坐标增量的根本公式，式〔5
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—3〕是计算坐标的根本公式，称为坐标正算公式。
从图5—5可以看出是边长在x轴上的投影长度，是边长在y轴上的投影长度，边长是有向线段，是在实地由A量到B得到的正值。而公式中的坐标方位角可以从0°到360°变化，根据三角函数定义，坐标方位角的正弦值和余弦值就有正负两种
情况，其正负符号取决于坐标方位角所在的象限，如图5—6所示。从式〔5—2〕知，由于三角函数值的正负决定了坐标增量的正负，其符号归纳成表5—3。
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图5—5 坐标计算 图5—6 坐标增量符号
表5—3 坐标增量符号表
坐标方位角
〔°〕
所在象限
坐标增量的正负号
⊿x
⊿y
0～90
90～180
180～270
270～360
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
＋
－
－
＋
＋
＋
－
－
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例1 A点坐标=，=；边长=100m，方位角=330°。求B点的坐标、。
解：根据公式〔5—3〕有
2、坐标反算
由两个点的坐标计算出这两个点连线的坐标方位角和边长，这种计算称为坐标反算。
由式〔5—1〕有
｝ 〔5—4〕
该式说明坐标增量就是两点的坐标之差。在图5—5中 表示由A点到达B点的纵坐标之差称纵坐标增量； 表示由A点到B点的横坐标之差称横坐标增量。坐标增量也有正负两种情况，它们决定于起点和终点坐标值的大小。
在图5—5中如果A点到B点的坐标，需要计算AB边的坐标方位角和边长时，
如此有
｝ (5
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—5)
或
公式〔5—5〕称为坐标反算公式。应当指出，使用公式〔5—5〕中第一式计算的角是象限角R，应根据⊿x、⊿y的正负号，确定所在象限，再将象限角换算为方位角。因此公式〔5—5〕中的第一式还可表示为：
例2．=300m, =500m,=500m,=300m,求A、B二点连线的坐标方位角和边长。
解：由公式〔5-5〕有
因为为正 、为负，直线AB位于第四象限。所以
根据第四象限的坐标方位角与象限角的关系得：
AB边长为：
坐标正算公式和坐标反算公式都是矿山测量中最根本的公式，应用十分广泛。
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在测量计算时，由于公式中各元素的数字较多，测量规对数字取位与计算成果作了规定。例如图根控制点要求边长计算取至毫米；角度计算取至秒；坐标计算取至厘米。
二、坐标方位角的推算公式
由公式〔5-2〕知，计算坐标增量需要边长和该边的坐标方位角两个要素，其中边长是
在野外直接测量或通过三角学的公式计算得到的，坐标方位角如此是根据坐标方位角和水平角推算出来的。下面介绍坐标方位角的推算公式。
如图5-7所示，箭头所指的方向为“前进〞方向，位于前进方向左侧的观测角称为左观测角，简称左角；位于前进方向右侧的角称为右观测角，简称右角。
在图5—7与5—8中，AB边的方位角为，为左观测角，需要求得BC边的方位角。是外业观测得到的水平角，从图上可以看