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计算方法重点公式
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计算方法重点公式
第一章 非线性方程和方程组的数值解法
~
b
a
1)二分法的基本原理,误差:
x
2k
1
2)迭代法收敛阶:
lim
i 1
c
0
,若 p
1则要求 0
c
1
p
i
i
3)单点迭代收敛定理:
定理一:若当
x
a,b
时,
( x)
a,b 且
' (x)
l
1,
x
a, b ,则迭代格式收敛
于唯一的根;
定理二:设
( x) 满足:
① x
a,b 时,
(x)
a,b ,
②
x1, x2
a, b , 有 ( x1 )
( x2 )
l x1
x2 ,0 l 1
则对任意初值
x0
a,b
迭代收敛,且:
1
xi 1
xi
xi
1
l
l i
x1
x0
xi
1
l
定理三: 设
(x) 在
的邻域内具有连续的一阶导数,
且
' (
) 1 ,则迭代格式具有局部收
敛性;
定理四:假设
( x) 在根
的邻域内充分可导,则迭代格式
xi 1
(xi ) 是 P 阶收敛的
( j ) ( )
0, j
1,L
,P 1,
(P)(
) 0 ( Taylor 展开证明)
4) Newton 迭代法: xi
xi
f ( xi )
1
f
'
,平方收敛
( xi )
5) Newton 迭代法收敛定理:
设 f (x) 在有根区间a, b上有二阶导数,且满足:①: f (a) f (b) 0;
②: f ' ( x) 0, x a,b ;
③: f ''不变号 , xa, b
④:初值 x0 a,b 使得 f '' ( x) f (x)
0 ;
则 Newton 迭代法收敛于根。
6) Newton 迭代法求重根(收敛仍为线性收敛)
,对 Newton 法进行修改
①:已知根的重数
r(Newton 下山法 ), xi 1
xi
r f
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