动态法测量杨氏模量.doc

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XX大学大学物理实验报告
学生XX:___________ 学号:_______________ 专业班级:______________
实验时间:_____时_____分 第____周 星期:______ 座位号:________
动态法测量杨氏模量

1、理解动态法测量杨氏模量的基本原理。
2、掌握动态法测量杨氏模量的基本方法，熟悉信号源和示波器的使用。
二．实验原理
如图1所示，长度L远远大于直径d（L>>d）的一细长棒，作微小横振动（弯曲振动）时满足的动力学方程（横振动方程）为棒的轴线沿x方向，
（1）
y L
0 x x
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图 1
式中y为棒上距左端x处截面的y方向位移，E为杨氏模量，单位为Pa或N/m²;ρ为材料密度，S为截面面积，J为某一截面的转动惯量，J=。
横振动方程的边界条件为：棒的两端（x=0，L）是自由端，端点既不受正应力也不受切向力。用分离变量法求解方程（1），令y（x，t）=X（x）T（t），既有
（2）
由于等式两边分别是两个变量x和t的函数，所以只有当等式两边都等于两边都等于同一个常数时等式才成立，假设此常数为,则可得到下列两个方程
(3)
(4)
如果棒中每点都作简谐振动，则上述两方程的通解分别为
（5）
于是可以得出
y（x，t）=（） （6）
式中
(7)
式中（7）称为频率公式，适用于不同边界条件任意形状截面的试样。如果试样的悬挂点（或支撑点）在试样的节点，则根据边界条件得到
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cosKL•chKL=1 （8）
采用数值法可以得出本征值K和棒长L应满足如下关系：
KnL=0,,,,，…… （9）
其中第一根=0对应试样静止状态；第二根记为=，所对应的试样振动频率称为基振频率（基频）或者称为固有频率，此时的振动状态如图2所示，第三根=，称为一次谐波。由此可知，试样在作基频振动时存在两个节点，。将基频对应的K1值代入频率公式，可得到杨氏模量为
E （10）
图2 图3
如果试样为圆棒（d<<L），则，所以式（10）可改写为
（11）
同样，对于矩形棒试样则有
（12）
式中，m为棒的质量，f为基频振动的固有频率，d为圆棒直径，b和h分别为矩形棒的宽度和高度。
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如果，圆棒试样不能满足d<<L时，式（11）应乘以一个修正系数，T1，即
T1 （13）
式（13）中的修正系数T1可以根据径长比d/L的泊松比有
径长比与修正系数的对应关系
径长比
d/L








修正系数T1








由式（10）~（12）可知，对于圆棒或矩形棒试样只要测出固有频率就可以计算试样的动态杨氏模量，所以整个实验的主要任务就是测量试样的基频振动的固有频率。
本实验只能测出试样的共振频率，物体固有频率f固和共振频率f共是相关的两个不同概念，二者之间的关系为
(14)
式（14）中Q为试样的机械品质因数。一般Q值远大于50，%，两者相差很小，通常忽略二者的差别，用共振频率代替固有频率。
试样在做基频振动时，