数模培训火箭问题3.ppt

数学模型主讲雷鸣 1 为什么要学习数学模型? 随着现代科学技术的迅猛发展,要求人们在解决各类实际问题时更加精确化和定量化,特别是在计算机的普及和广泛应用的今天,数学更深入地渗透到各种科学技术领域。数学模型正是从定性和定量的角度去分析和解决所遇到的实际问题,为人们解决实际问题提供一种数学方法,一种思维方式,因此越来越受到人们的重视。 2 一个重点工程,地址选择在何处为好? 在战争还没有消灭的今天,武器的发展是大型化还是提高精度? 人口众多,已成为全球性的大问题,如何制定一个国家的人口政策? 为什么发射卫星一般采用三级火箭? ……所有这些问题都需要建立数学模型加以论证,为决策者提供理论依据。 3 先介绍两个生动的应用实例,让我们对此有所体会,然后介绍数学模型的一些基本概念和建立模型的方法。发射卫星为什么用三级火箭? 当你坐在电视机前观看奥运会精彩的比赛实况时,你可曾想到是通过什么手段把画面瞬间从比赛现场传到世界各地呢? 4 是通讯卫星。卫星靠什么送入太空轨道的呢? 靠的是三级火箭。那么为什么要用三级火箭,而不用一级、二级或四级火箭呢? 下面通过运载火箭的数学模型来论证三级火箭的设计是最优的。 5 建立数学模型很关键的一步是确定什么是主要因素,什么是次要因素。火箭是一个非常复杂的系统,它必须具有高效能的发动机,牢固的结构,低的空气阻力等等。对火箭发动机的主要要求是必须具有强大的推力使火箭加速到足够大的速度。因为如果火箭最末一级燃料用完时速度太低的话,卫星就会从空中掉回地面。 6 下面从卫星的速度因素着手,看看为了使卫星在预定的轨道上围绕地球飞行,火箭的最终速度应该是多少? 一、火箭速度把问题理想化:假设地球为密度均匀分布的球体,卫星以地球引力作为向心力绕地球作平面圆周运动,如图 所示。 78 设地球半径为 R,地球中心为 O,曲线 C为地球表面, 曲线为卫星轨道, 的半径为 r,卫星质量为 m。 C ?C ? 2r mKG?K为引力常数。假设地球为密度均匀分布的球体,则可把地球的质量看成集中在球心。由牛顿第二定律,地球对卫星的引力为() 9 为定出常数 K,把卫星放在地球表面。则由() 式得 2R mK mg ? 2gR K?2 2 22??????????r R mg r m gR r mKG () () 其中 g为地球表面的重力加速度。将() 式代入() 式得地球对卫星的引力 10