矩阵的等价,规定合同,相似的联系与区别.doc

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目 录
摘要I
引言1
1矩阵间的三种关系1
矩阵的等价关系1
矩阵的合同关系2
. 矩阵的相似关系2
2 矩阵的等价、合同和相似之间的联系3
3矩阵的等价、合同和相似之间的区别6
完毕语6
参考文献6
摘 要:等价、合同和相似是矩阵中的三种等价关系，、矩阵的对角化问题、求矩阵特征根与特征向量、化二次型的标准形等诸多问题的解决都要依赖于这三种等价关系. 根据等价、合同和相似的联系的研究的结论是其一可利用等价矩阵的性质来确定相似矩阵或合同矩阵的性质．其二可利用正交相似与正交合同的一致性，得到二者间彼此的转化．
关键词:矩阵的等价;矩阵的相似;矩阵的合同;等价条件
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引言：
在高等代数中，讨论了矩阵的三种不同关系，它们分别为矩阵的等价、矩阵的相似和矩阵的合同等关系．本文首先介绍了这三种关系以与每种关系的定义，性质，相关定理与各自存在的条件，然后给出了这三种矩阵关系间的联系，即相似矩阵、合同矩阵必为等价矩阵，相似为正交相似，合同为正交合同时，相似与合同一致．还有矩阵的相似与合同之等价条件．并对这些结论作了相应的理论证明，最后给出了他们的区别和不变量.
1矩阵间的三种关系
矩阵的等价关系
定义1 两个矩阵等价的充要条件为：存在可逆的阶矩阵与可逆的 阶矩阵，使
由矩阵的等价关系，可以得到矩阵与等价必须具备的两个条件：
〔1〕矩阵与必为同型矩阵〔不要求是方阵〕.
〔2〕存在 阶可逆矩阵和阶可逆矩阵, 使得.
性质1
〔1〕反身性：即.
〔2〕对称性：假如，如此
〔3〕传递性：即假如，，如此
定理1假如为矩阵，且，如此一定存在可逆矩阵〔阶〕和〔 阶〕，.
推论1设是两矩阵，如此当且仅当.
矩阵的合同关系
定义2 设均为数域上的阶方阵，假如存在数域上的阶可逆矩阵，使得,如此称矩阵为合同矩阵〔假如数域上阶可逆矩阵为正交矩阵〕，由矩阵的合同关系，不难得出矩阵与合同必须同时具备的两个条件：
(1) 矩阵与不仅为同型矩阵，而且是方阵.
(2) 存在数域上的阶矩阵,
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性质2
〔1〕反身性：任意矩阵都与自身合同.
〔2〕对称性：如果与合同，那么也与合同.
〔3〕传递性：如果与合同，又与合同，那么与合同.
因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得：合同矩阵的秩等.
定理2 数域F上两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵合同.
定理3复数域上秩为的二次型，可以用适当的满秩线性变换化为标准形：
. 矩阵的相似关系
定义3 设均为数域上阶方阵，假如存在数域上阶可逆矩阵使得,如此称矩阵与为相似矩阵〔假如级可逆矩阵为正交阵，如此称与为正交相似矩阵〕
由矩阵的相似关系，不难得到矩阵与相似，必须同时具备两个条件
(1) 矩阵与不仅为同型矩阵，而且是方阵
(2) 在数域上阶可逆矩阵，使得