第一章 数学思想方法的两个源头1.doc

第一章数学思想方法的两个源头一、数学思想方法的两个源头内容概括本章的学习主要是希望学员通过学习两个经典数学著作--- 古希腊的《几何原本》和中国古代的《九章算术》, 来认识和理解数学中最早体现出来的基本思想和方法的特点和意义。因此,本章的主要内容有以下几个方面: ●《几何原本》的基本内容、特点和意义; ●《九章算术》的基本内容、特点和意义; ●《几何原本》和《九章算术》之比较。下面我们就从这三个方面进行讲解和分析: 1. 《几何原本》的基本内容、特点和意义●《原本》产生的背景在早期的数学中,我们可以看到两种不同的也是基本的数学思想的体现: 演绎的公理化体系和构造的算法体系。《几何原本》和《九章算术》就是这两种思想的代表。●演绎的公理化体系演绎的公理化体系是从有限的不加证明公理和定义出发, 通过严格的逻辑推理推演出所有其他命题的一个有序的理论整体。《几何原本》是历史上最早建立的演绎的公理化的体系。约公元前 300 年,古希腊数学家欧几里得( Eucild )将希腊当时最为发达的数学--- 几何用公理化的思想和严格的演绎推理的逻辑方法整理在一个体系之中。《几何原本》的原名为《原本》( “ Elements ”), 17 世纪初,翻译成中文时冠以《几何原本》沿用至今。《几何原本》中的素材并非是欧几里得所独创, 它是对欧几里得之前希腊数学的一个总结。欧几里得《几何原本》的出现, 是数学史上一个伟大的里程碑, 它不仅是几何学建立的标志,同时也是公理体系在具体学科中应用成功的标志。●基本内容欧几里得的《几何原本》是一本极具生命力的经典著作。全书共十三卷,总共有 475 个命题(包括 5 个公设( Postulate )和 5 个公理( Axiom ) 。除几何外,还包括初等数论,比例理论等内容。第一篇有5 个公设、5 个公理和48 个命题, 讨论全等形, 平行线, 毕达哥拉斯( Pythagoras ) 定理, 初等作图法, 等价形( 有等面积的图形) 和平行四边形。所有图形都是由直线段组成的。欧几里得在这篇中给出了 23 个定义提出了点、线、面、圆和平行线等概念。接着是五个公设: (I )从任意一点到任意一点可作直线。( II )有限直线可以继续延长。( III )以任意一点为中心及任意的距离(为半径)可以画圆。( IV )所有直角都相等。(V) 同一平面内一条直线和另外两条直线相交, 若在某一侧的两个内角的和小于两直角,则这两直线经无限延长后在这一侧相交。其中第五个公设称为欧几里得平行公设,简称第五公设。公设之后是五个公理: (I )和同一量相等的诸量彼此相等。( II )等量加等量,总量仍相等。( III )等量减等量,余量仍相等。( IV )可以重合的量,彼此相等。(V )整体大于部分。现代数学把“公设”和“公理”看作同义词, 使用时不加区别。但是欧几里得采纳了古希腊哲学家兼逻辑家亚里士多德( Aristotle ) 的观点, 即公理是适用于一切研究领域的原始假设, 而公设则仅仅是适用于正在考虑的这一特定学科的原始假设。例如我们熟悉的毕达哥拉斯定理(即勾股定理)就是本篇的命题 47 和命题 48。第二篇有 14 个命题,利用线段代替数来研究数运算的几何代数法。比如,两数的乘积变成两边长等于两数的矩形的面积。第三篇有 37 个命题,讨论圆以及与之有关的线和