平面几何四心讲义.docx

平面几何四心讲义
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三角形四心竞赛讲义
一、“四心”分类讨论 1
1、外心 1
2、内心 2
3、垂心 3
4、重心 5
5、外心与内心 6
6、重心与内心 7
7、外心与垂心 7
8、外心与重心 7
9、垂心与内心 8
10、垂心、重心、外心 8
旁心 8
二、“四心”的联想 8
1、由内心、重心性质产生的联想 8
2、重心的巧用 9
3、三角形“四心”与一组面积公式 11
三角形各心间的联系 13
与三角形的心有关的几何命题的证明 14
三角形的内心、外心、垂心及重心 ( 以下简称“四心” ) 是新颁发的初中数学竞赛大纲特别加强的内容。由于与四心有关的几何问题涉及知识面广、难度大、应用的技巧性强、方法
灵活，是考查学生逻辑思维能力和创造思维能力的较佳题型，因此，它是近几年来升学、竞赛的热点。 92、 93、94、95 连续四年的全国初中数学联赛均重点考察了这一内容。本讲拟分别列举四心在解几何竞赛中的应用，以期帮助同学们掌握这类问题的思考方法，提高灵活运用有关知识的能力。
一、“四心”分类讨论
1、外心
三解形三条垂直平分线的交点叫做三角形的外心，即外接圆圆心。△ ABC的外心一般用字母 O表示，它具有如下性质：
外心到三顶点等距，即 OA=OB=OC。
(2) ∠ A=1 BOC
,
B
1
AOC C
1 AOB。
2
2
,
2
如果已知外心或通过分析“挖掘”出外心，与外心有关的几何定理，尤其是圆周角与圆
心角关系定理，就可以大显神通了。下面我们举例说明。
例 2 证明三角形三边的垂直平分线相交于一点，此点称为三角形的
A X
外心．
已知：△ ABC中， XX′，YY′，ZZ′分别是 BC，AC，AB边的垂直平
Y
分线，求证： XX′， YY′， ZZ′相交于一点 ( 图 3－ 111) ．
Z
O
Z
B
Y
C
X
3-111
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例 1、如图 9-1 所示，在△ ABC中，AB=AC，任意延长 CA到 P，再延长 AB到 Q，使 AP=BQ，求证：△ ABC的外心 O与点 A、P、Q四点共圆。
P
A
E
F
B
C
Q
O
图 9-1
例 2、如图 9-2 所示，在△ ABC的大边 AB上取 AN=AC，BM=BC，点 P 为△ ABC 的内心，求
证：∠ MPN=∠A+∠B。
C
P
A
M
B
N
图 9-2
例 3、AB为半圆 O的直径，其弦 AF、 BE相交于 Q，过 E、F 分别作半圆的切线得交点
P，
求证： PQ⊥AB。
K
P
E
F
1
Q
A
2
B
H
图 9-3
2、内心
三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。△ ABC的内心一般用字
母 I 表示，它具有如下性质：
内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。
∠ A 的平分线和△ ABC的外接圆相交于点 D，则 D 与顶点 B、C、内心 I 等距 ( 即 D 为 △BCI 的外心 ) 。
∠ BIC=90o+ 1 ∠ A，∠ CIA=90+1 ∠B，∠ AIB=90o+ 1 ∠C。
2 2 2
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例 1 证明：三角形三内角平分线交于一点， 此点称为三角形的内心．已知：△ ABC中， AX，BY，CZ 分别是∠ A，∠ B，∠ C 的平分线，求
证： AX，BY，CZ交于一点 ( 图 3－ 110