常用放缩方法技巧.docx

常 用 放 缩 方 法 技 巧
证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而 充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而 成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往 往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进 行恰当地放缩；具放缩技巧主要有以下几种：
⑴添加或舍去一些项，如：G 1 a ； Vn(n 1) n
⑵将分子或分母放大(或缩小)
⑶利用基本不等式，如：lg3 lg5 (则」坞2
2
n (n 1)
；n(n 1) —-
(4) 工而EEt": nn * n\ n 「0 「1 「n*?n p0 p1 n 1
\ '--，、上77i-^1旧 : 2 (1 1) Cn Cn Cn , 2 Cn Cn n 1 ,
(5)利用常用结论：
I .8的放缩： 2l 2_ 2l
k . k k 1 2, k k k 1
11.《的放缩(1)： 1 1_J—(程度大)
k2 k(k 1) k2 k(k 1)
心」的放缩(2):[ 二 1— 1(，,)(程度小)
k2 k k 1 (k 1)(k 1) 2 k 1 k 1
M1的放缩(3): .1 4 2(— —)(程度更小)
k2 k2 4k2 1 2k 1 2k 1
0, m
0)
V .分式放缩还可利用真(假)分数的性质：电b_^(b a 0,m 0)和9 2(a b a a m ' a a m
记忆口诀“小者小，大者大”。解释：看b,若b小，则不等号是小于号，反之亦然.
。例：f(x) —(x 0),从而实现利用函数单调性质
x
的放缩：f(a b) f(a b)o
先求和再放缩 ... 1
例1. an ,刖n项和为Si,求证：sn 1
n (n 1)
.1 1
例2. an (-),前n项和为S,求证：sn — 3 2
先放缩再求和
(一)放缩后裂项相消 _
/ …11 Q
Ja 1 an ( 1) 52n —
{an} , n ,其前n项和为sn ,求证： 2
(二)放缩后转化为等比数列。
2
例 4. {bn} 满足：b1 1,bn 1 bn (n 2)bn 3
(1)用数学归纳法证明:
bn
Tn
(2)
、裂项放缩
3 bl 3 b2
1
3 bn ,求证:
Tn
例5.(1)求
k
例 6.(1)
2
1 4k2 1
求证：1
的值；(2)
求证:
1 1
16 36
1
52
1
2
4n
1 ,
5
.
3
7 1
2
(2n 1) 6 2(2n
1
同(n 2)
4n
1
： 6n
(n~1)( 2n
4n :
1)
a1
1
9
2
a2
2( 2n 1 1)
1 5
n2 3
_ ,求证:工
an
Tn I
四、分式放缩
姐妹不等式：b
a
m(b
a 0, m
0)和 b —(a b
a a m
0, m 0)
记忆口诀”小者小，大者大”
解释：看b,若b小，则不等号是小于
：(1 1)(1