二、几个初等函数的麦克劳林公式
第三节
一、泰勒公式的建立
三、泰勒公式的应用
—应用
用多项式近似表示函数
理论分析
近似计算
泰勒( Taylor )公式
特点:
一、泰勒公式的建立
以直代曲
在微分应用中已知近似公式:
需要解决的问题
如何提高精度?
如何估计误差?
x 的一次多项式
1. 求 n 次近似多项式
要求:
故
令
则
2. 余项估计
令
(称为余项) ,
则有
证明方法: 反复应用柯西中值定理(略).
公式①称为的 n 阶泰勒公式.
公式②称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项.
泰勒中值定理:
阶的导数,
时, 有
①
其中
②
则当
公式③称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项.
在不需要余项的精确表达式时, 泰勒公式可写为
注意到:
③
④
特例:
(1)当n=0时,泰勒公式变为
(2)当n=1时,泰勒公式变为
拉格朗日中值定理
可见
误差
称为麦克劳林(Maclaurin)公式.
则有
在泰勒公式中若取
则有误差估计式
若在公式成立的区间上
由此得近似公式
二、几个初等函数的麦克劳林公式
其中
其中
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