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巧用数学构造法解数列题
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巧用数学构造法解数列题
永福中学：陈容丽
构造法作为一种重要的数学方法，而不是一个数学概念，没有严格的定义。解数学问题时，常规的思考方法是由条件到结论的定向思考，但有些问题按照这样的思维方式来寻求解题途径比较困难，甚至无从下手。在这种情况下，经常要求我们改变思维方向，换一个角度思考，以找到一条绕过障碍的新途径，从而使问题得解．而构造法就是根据数学问题的条件或结论的特征，以问题中的数学元素为“元件”，数学关系为“框架”构造出新的数学对象或数学模型，从而使问题转化并得到简便解决的方法。它的特点是：创造性地使用已知条件，创造性地应用数学知识，极大限度地发散思维。
本文主要淡淡构造法在高中数列问题的应用。
数列是高中很重要且有相当难度的一章内容，在近几年的高考中，一般有一道中档的填空题和一道压轴的解答题，所占分值较高。数列问题中的构造新数列在近几年高考题中经常出现，这类题目的难度及区分度往往很大，学生不容易掌握，有时甚至无从下手。下面来专门谈一谈构造法在研究数列中的灵活运用。
一、型如(为常数且，)的数列，其本身并不是等差或等比数列，但经过适当的变形后，即可构造出一个新数列，利用这个数列可求其通项公式。
 1． (为常数)，可构造等比数列求解．
例1　已知数列满足，（），求通项．
解　由，得，又，所以数列是首项为，公比为的等比数列，∴．
注：一般地，递推关系式 (p、q为常数，且p≠0，p≠1)可等价地改写成，则{}为等比数列，从而可求．
2．为等比数列，可构造等差数列、等比数列求解。如 (为常数) ，两边同除以，得，令，则可转化为的形式求解．
例2　（1）已知数列{an}中，，，求通项．
（2）已知数列满足，，求通项．
解　（1）由条件，得，令，则，即，又，，∴数列为等比数列，故有
 ，即，∴．
（2）由条件，得，即，故数列是以为首项，以为公差的等差数列， ∴， 故．
3．为等差数列，如型递推式，可构造等比数列求解．
例3　已知数列满足，（），求．
解　令，则，∴，代入已知条件，
得，即，
令，，解得=－4，=6，所以，且，
∴是以3为首项、以为公比的等比数列，故，故．
注　此例通过引入一些尚待确定的系数，转化命题结构，经过变形与比较，把问题转化成基本数列（等差或等比数列）求解．
4．为非等差、非等比数列，可构造等差、等比数列求解．
令，解得，于是有，
∴数列是一个以为首项，公比是－3的等比数列，
∴，即，代入bn＝，得．
例10若数列中，，是数列的前项之和，且，求数列的通项公式．
解　由，得，令，
则有，故，∴数列{}是以为首项，3为公比的等比数列，∴=，∴，当n时，由（）得，
∴ ．
四、对某些特殊的数列，可利用特征方程构造等差数列或等比数列求解．
如满足（A，B，C，D为常数，且）的数列，可令特征方程为，变形为，若方程有二异根，则可令（为待定常数），则数列是首项为，公比为的等比数列；若方程有二重根，则可令（为待定常数），则数列
是首项为，公差为的等差数列。然后代入的值可求得值，于是可求得．
例11已知数列满足，求数列的通项．
解　令，化简得，解得，令， 由，得，可得