四点共圆(一).doc

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第二十四讲四点共圆（一）
【知识要点】
四点共圆的判定方法：
1、 若四个点到一定点的距离相等，则这四个点在同一个圆上（即这四点共圆）。
2、 若一个四边形的一组对角的和等于 180度，则这个四边形的四个顶点共圆。
3、 若一个四边形的一个外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆。
4、 若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点 共圆。
5、 若AB、CD两线段相交于P点，且PA PB PC PD，则A、B、C、D四点共圆。
6、 若AB、CD两线段延长后相交于 P点，且PA PB PC PD，贝U A、B、C、D四点共圆。
7、 若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆。
【典例精讲】
例1、锐角 ABC的三条高AD、BE、CF交于H，在A、B、C、D、E、F、H七个点中•能组成四 点共圆的组数是（ ）
A、4组 B 、5组 C 、6组 D 、7组
B C
例2、如图，A、B、C、D四点在同一圆上， AD的延长线与BC的延长线交于 E点，且EC ED 。
（1） 证明：CD // AB ；
（2） 延长CD到F，延长DC到G，使得EF EG，证明：A、B、G、F四点共圆•
例3、如图，在梯形ABCD中，AD//BC，点E , F分别在边AB , CD上，设ED与AF相交于点G，若B , C , F , E四点共圆，求证： AG GF DG GE .
例4、已知点A(2,0) , B(3,5)，直线|过点B与y轴交于点C(0 , c)，若0、A、B、C四点共圆，贝U c的
值为( )
22
28
5
、17
D 、无法求出
例5、在圆内接等腰三角形 ABC的底边 BC上任取二点 D、E,延长 AD、AE分别交圆于 F、G ,
求证：AD AF AE AG.
例6、如图，D , E分别是AB , AC边上的点，且不与顶点重合，已知 AE m , AC n , AD , AB为方
程x2 14x mn 0的两根.
（1） 证明：C，B，D，E四点共圆；
（2） 若 A 90，m 4，n 6，求C，B，D，E四点所在圆的半径.
例7、如图，AB为圆O的直径，CD为垂直于AB的一条弦，垂足为 E，弦BM与CD交于点F •
（1）证明：A、E、F、M 四点共圆；（2）证明：AC2 BF BM AB2 .
例8、如图，在平行四边形 ABCD中,
BAD为钝角，且 AE BC , AF
CD .
（1）求证：A、E、C、F四点共圆;
（2）设线段BD与（1）中的圆交于M、N •求证:
BM ND.
例9、如图所示，I为 ABC的内心，求证： BIC的外心O与A、B、C四点共圆•
例10、A、B、C三点共线，O点在直线外，O,, O2, 03分别为 0AB , OBC , OCA的外心•求证: 0 , Oi, 02 , O3四点共圆.
例11、如图，在 ABC中，AD , BE分别是 A , B的角平分线，O是AD与BE的交点，若C , D , O , E四点共圆，DE 3,贝U ODE的内切圆半径为多少？
例12、如图，点F是 ABC外接圆弧 BC的中点，点
D、E在边AC上，使得AD
AB , BE EC。证明:
B
B、 E、D、F四点共圆.
B
B
例 13、如图，AH AC，EB BC，AE AK，BH BM •
(1) 求证：E、H、M、K四点共圆；
(2) 若KE EH , CE 3求线段KM的长.
B
B
CE ,又点0是ADF的
例14、在 ABC的边AB , BC , CA上分别取D , E , F •使得DE BE , FE 外心.
(1) 证明：D , E , F , O四点共圆；
(2) 证明：0在 DEF的平分线上.
B
B
0
D
F
B
例15、如图，CD为ABC外接圆的切线,
AB的延长线交直线 CD于点D , E、F分别为弦AB与弦AC上
B
的点，且BC AE
DC AF，B、E、F、C 四点共圆.
（1）证明:
CA是 ABC外接圆的直径