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高等数学上册知识点
」、函数与极限
(一)函数
1、 函数定义及性质(有界性、单调性、奇偶性、周期性);
2、 反函数、复合函数、函数的运算;
3、 初等函数:幕函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函
数、反双曲函数;
4、 函数的连续性与间断点;
函数 f(x)在 Xo连续 lim f(x) f(x°)
X Xo
第一类:左右极限均存在.
间断点] 可去间断点、跳跃间断点
<第二类:左右极限、至少有一个不存在.
无穷间断点、振荡间断点
5、闭区间上连续函数的性质:有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论.
(二)极限
1、 定义
1) 数列极限
lim xn a 0, N , n N, xn a
n
2) 函数极限
lim f (x) A 0, 0, x,当 0 x x0 时,f (x) A
x X。
左极限:f(x0) lim f(X)
x x0
右极限:f(x0) Xim f(x)
x x0
lim f (x) A 存在 f (x0) f (x0)
x xo
极限存在准则
夹逼准则:
Xn Zn (n no 厂
2)limyn
lim zn a
n
lim xn a
n
单调有界准则:单调有界数列必有极限.
无穷小(大)量
定义:若|im 0则称为无穷小量;若|im
则称为无穷大量.
无穷小的阶:高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、
k阶无穷小
5)
5)
Th1
Th2
,lim 一存在,则
lim — lim
(无穷小代换)
0();
5)
5)
求极限的方法
单调有界准则;
夹逼准则;
极限运算准则及函数连续性;
两个重要极限:
a) lim 沁 1
a) x 0 x
b)
丄
lim (1 x)x
x 0
lim (1丄广e
x
5)
5)
无穷小代换:(x 0)
a)
x ~ sin x 〜tan x 〜arcsinx 〜arctanx
5)
5)
b)
1 cosx 〜lx2
2
x A
c) e 1 ~ x
x
(a 1〜xl n a)
5)
d) In(1 x) ~ x
(loga(1
x)
In a
e) (1 x) 1 - x
二、导数与微分
(一)导数
定义:f(X。)
lim
X
X。
左导数:
f(X。)
右导数:
f(X。)
f (x) f(X。)
X X。
lim f(x) f(Xo)
X Xo
x Xo
lim f(x) f(x。)
X Xo
X Xo
函数f (X)在Xo点可导 f (Xo) f (Xo)
几何意义:f(X。)为曲线y f (x)在点X0, f(X。)处的切线的斜率.
可导与连续的关系:f (X)在X0点可导
f(x)在Xo点连续
求导的方法
1) 导数定义;
2) 基本公式;
3) 四则运算;
4) 复合函数求导(链式法则);
5) 隐函数求导数;
6) 参数方程求导;
7) 对数求导法.
5、 高阶导数
d2y d dy
1)疋义:dx2 dx dx
Leibniz 公式:
uv (n)
Cnku(k)v(n k)
(二)微分
i)定义:y f(x。
x) f(Xo) A x o( x),其中 A与 x无关.
2)可微与可导的关系:可微
可导,且 dy f(X。)x f (xo)dx
三、微分中值定理与导数的应用
中值定理
1、 Rolle定理:若函数f (x)满足:
1)f(x) C[a,b] ; 2)f(x) D(a,b) ; 3)f(a) f(b);
贝 q (a,b),使 f() 0.
2、 Lagrange中值定理:若函数f(x)满足:
1) f(x) C[a,b] ; 2) f(x) D(a,b);
则(a,b),使f(b) f(a) f ( )(b a).
3、 Cauchy中值定理:若函数f(x), F(x)满足:
1) f(x),F(x) C[a,b] ; 2) f(x),F(x) D(a,b) ;3) F (x) 0,x (a,b)
(a,b),使
f(b)
F(b)
f (a)
F(a)
(二)洛必达法则
注意:
1、尽量先化简(有理化、无穷小代换、分离非零因子) 再用洛必达法则!
J1 x2 cos x 如:lim 厂
x ° tan x
2、对于某些数列极限问题,可化为连续变量的极限,