数学必修4 第二章 平面向量知识点.doc

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向量：既有大小又有方向的量。
向量的模：向量的大小即向量的模（长度），女口 AB，a的模分别记作|盂|和|a|。
注：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
几类特殊向量
I I
（1 ）零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行，
零向量a = 0 : = | a |= 0。由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量， 故 在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有 非零向量"这个条件。（注
意与0的区别）
T
⑵单位向量：模为1个单位长度的向量，向量a0为单位向量=|a0八1。将一个
ea
=咅
|a|
向量除以它的模即得到单位向量，女口 a的单位向量为:
⑶平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 , // b
4
规定：0与任何向量平等， 任意一组平行向量都可以移到同一直线上，由于向量可以进行任意的平移
（即自由向量），平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量
数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意
、的含义,
选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线” 要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。
4
（4）相反向量：上
亍a长度相等、方向相反的向量，叫做 a的相反向量。记作-a。
关于相反向量有：① 零向量的相反向量仍是零向量， ②-（-a）=a ;③
a? （-a）=0 ；④若a、b是互为相反向量，则
a =〜'b, b=〜Aa, a + b =0 。
（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量。记为 a二b。相等向量经过平移后
总可以重合

向量加法
(1)定义:求两个向量和的运算叫做向量的加法 设AB =a, BC =b，贝q a + b =AB
BC =AC 。
规定： 0 ■ a = a ■ 0 =；a
AB BC Jl| PQ
-AR，但这时必须“首尾相连”
(2)向量加法的法则一 “三角形法则”与“平行四边形法则”
用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量 是
始点与已知向量的始点重合的那条对角线。
三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向 最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和。
注：当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向 量 是首尾连接时，用三角形法则。
向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：
⑶向量加法的运算律
交换律：a Ab a ②结合律：
(a b) (a c)
求两个向量
占
八、、
法向量的减 斗彳扌* **
定
向量减法的法则一 “三角形法则”与“平行四边形法则” 三角形法则：当a,b有共同起点时，a-b表示为从减向量b的终 指向被减向量a的终点的向量。
平行四边形法则：』个已知向量是要共始点的，一差雪是如图所
示的对角线。设 AB 二 a,AC 二 b 贝 U a- b =AB - AC 二 CB.
实数与向量的积
义：若a， x=b则向量x叫做a与b的差，记为b-a差的运算，叫 做向量的减法。
(2)
①
(1)定义：实数入与向量a的积是一个向量，记作-a，它的长度与方向
规定如下：
!a ； 4 呻
当 0时，? a的方向与a的方向相同；当？ ：：： 0时，a的方向与a的方
斗斗，彳科斗彳
向相反；当0时，，a=0 ,方向是任意的 数乘向量的运算律
① ■( La)二('；L)a :②('HL)a = ■A.-a :③・(a b)二■a ■b

： 如果ei, e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内
的任一向量a，有且只有一对实数 入i，入2使a=A i ei +入2e2.
注意：(1)我们把不共线向量e i、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
(2)基底不惟一，关键是不共线；
：已知两个非零向量 a、b，作OA =a , OB = b，则/AOB=，叫向量a、
b的夹角，当0 =0 ° a、b同向，当日=180 ° a、b反向，当日=90 ° a与b垂直， 记作a 丄b。
：在直角坐标系中，分别取与 x轴、y轴方向相同的两个 单 位向量r, j作为基底，由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量 a可表 示成a ?
yj ,由于a与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a的 坐标，记作a =(x,y)， 其中x叫作