椭圆型方程PPT课件.pptx

差分法求解(qiú jiě)的主要步骤：
(3) 差分方程(fāngchéng)的解法.
(1) 对求解区域(qūyù)做网格剖分.
一维：将区间分成等距或不等距的小区间单元.
二维：将区域分割成一些均匀或不均匀的矩形，其边与
坐标轴平行，或分割成一些三角形或一些凸四边形等.
(2) 构造逼近微分方程定解问题的差分格式：三种方法
直接差分化法、积分插值法、有限体积法(或广义差分法).
差分解的存在唯一性、差分性及稳定性的研究.
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§1 差分(chà fēn)逼近的基本概念
考虑(kǎolǜ)二阶微分方程边值问题
将其分成(fēn chénɡ)等分，分点为
将方程 () 在节点
其中 q，f 为 [ a , b ] 上的连续函数，
为给定常数.
处离散化.
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由 Taylor 展开(zhǎn kāi)得
其中(qízhōng)
于是(yúshì)在
其中
舍去
将方程 () 写成
点取值.
表示方括号内的函数在
得逼近方程 () 的差分方程为：
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称
形成(xíngchéng)关于
注 此方程组尽管(jǐn guǎn)是高阶方程组，但每个方程未知数
④ 对方程组 ()～() 的解分析需要(xūyào)考虑以下几个问题：
最多有3个易于求解.
为差分方程 () 的截断误差.
的线性代数方程组
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(a) 解是否(shì fǒu)惟一？
以
定义(dìngyì)在
对
(b) 当网格(wǎnɡ ɡé)无限加密时，即
时，差分解
是否收敛到真解
(c) 在何种度量下收敛？
(d) 收敛速度如何？
为了解决如上问题，需要给出如下说明：
内点和界点
表示网格内点
的集合，
表示网格
集合.
上的网函数.
或
上的函数
称为
上的网函数引进如下范数：
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其中(qízhōng)
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设 U 是某一充分(chōngfèn)光滑的函数类，
称差分(chà fēn)算子
断误差(wùchā)定义的网格函数.
为相容条件.
是由截
恒有
若对任何
逼近微分算子 L ，并称 ()
注 当用
阶也就不同.
逼近 L 时，选择网函数的范数不同，逼近的
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当 h 充分(chōngfèn)小时，若 () ～ () 的解
称
如果存在(cúnzài)与网格
且按某一范数
对于差分(chà fēn)方程
数 M 和
存在，
有
收敛到边值问题的解 u .
无关的常数
及右端
使
称差分方程关于右端稳定.
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相同(xiānɡ tónɡ)的收敛阶.
若边值问题的解 u 充分光滑(guāng huá)，差分方程按
满足相容(xiānɡ rónɡ)条件，且关于右端稳定，则差分解
收敛到边值问题的解 u ，且有与
按
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§2 两点边值问题的差分(chà fēn)格式
考虑(kǎolǜ)两点边值问题
其中(qízhōng)
是给定的常数.
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