高中数列知识点、解题方法和题型大全.doc

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一高中数列知识点总结
1. 等差数列的定义与性质
定义：〔为常数〕，
等差中项：成等差数列
前项和
性质：是等差数列
〔1〕假如，如此
〔2〕数列仍为等差数列，仍为等差数列，公差为；
〔3〕假如三个成等差数列，可设为
〔4〕假如是等差数列，且前项和分别为，如此
〔5〕为等差数列〔为常数，是关于的常数项为0的二次函数〕
的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界项，
即：当，解不等式组可得达到最大值时的值.
当，由可得达到最小值时的值.
(6)项数为偶数的等差数列，有
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，.
〔7〕项数为奇数的等差数列，有
，
，.
2. 等比数列的定义与性质
定义：〔为常数，〕，.
等比中项：成等比数列，或.
前项和：〔要注意！〕
性质：是等比数列
〔1〕假如，如此
〔2〕仍为等比数列,公比为.
注意：由求时应注意什么？
时，；
时，.
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二 解题方法
1 求数列通项公式的常用方法
〔1〕求差〔商〕法
如：数列，，求
解时，，∴①
时，②
①—②得：，∴，∴
［练习］数列满足，求
注意到，代入得；又，∴是等比数列，
时，
〔2〕叠乘法
如：数列中，，求
解，∴又，∴.
〔3〕等差型递推公式
由，求，用迭加法
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时，两边相加得
∴
〔4〕等比型递推公式
〔为常数，〕
可转化为等比数列，设
令，∴，∴是首项为为公比的等比数列
∴，∴
〔5〕倒数法
如：，求
由得：，∴
∴为等差数列，，公差为，∴，
∴
(附：公式法、利用、累加法、、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法)
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2 求数列前n项和的常用方法
(1) 裂项法
把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.
如：是公差为的等差数列，求
解：由
∴
［练习］求和：
〔2〕错位相减法
假如为等差数列，为等比数列，求数列〔差比数列〕前项和，可由，求，其中为的公比.
如：①
②
①—②
时，，时，
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〔3〕倒序相加法
把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.
相加
［练习］，如此
由
∴原式
(附：
如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法〞。

对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进展求解。运用公式求解的须知事项：首先要注意公式的应用X围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。

裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。

错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即假如在数列{an·bn}中，{an}成等差数列，{bn}成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。

迭加法主要应用于数列{an}满足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成an+1-an=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出an ，从而求出Sn。
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所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，假如将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。

所谓构造法就是先根据数列的结构与特征进展分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的根本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前n项和。
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三方法总结与题型大全
方法技巧
数列求和的常用方法
一、直接〔或转化〕由等差、等比数列的求和公式求和
利用如下常用求和公式求和是数列求和的最根