泰勒公式例题.doc

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泰勒公式及其应用
等价无穷小在求函数极限中的应用及推广
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泰勒公式及其应用
１ 引言
泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,,所以,本文会以大量的例题进展讲讲解明.
２预备知识
,那么有
〔1〕
这里为佩亚诺型余项,称(1)f在点的泰勒公式.
当=0时,〔1〕式变成,称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.
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阶的连续导数,那么 ,
〔2〕这里为拉格朗日余项,其中在与之间,称〔2〕为在的泰勒公式.
当=0时,〔2〕式变成
称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.
常见函数的展开式：
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(介值定理) 设函数 在闭区间 上连续,且 ,假设为介于 与之间的任何实数,那么至少存在一点,使得
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3泰勒公式的应用
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利用泰勒公式求极限
为了简化极限运算,有时可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限,就能简捷地求出.
求极限.
分析：此为型极限,假设用罗比达法求解，那么很麻烦,这时可将和分别用泰勒展开式代替,那么可简化此比式.
解由,得
,
于是
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分析：此为型极限,假设用罗比达法求解，那么很麻烦,这时可将和sinx,分别用泰勒展开式代替,那么可简化此比式.
解： 由
,
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于是
 。
解：，   
【注解】
现在，我们可以彻底地说清楚下述解法的错误之处
因为，从而
当时，，应为  
利用泰勒公式证明不等式
当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物,不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替,往往使证明方便简捷.
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当时,证明.
证明 取,,那么
带入泰勒公式,其中=3,得
，其中.
故
当时,.
利用泰勒公式判断级数的敛散性
当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时,往往利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式,以便利用判敛准那么.
利用泰勒公式判断广义积分的敛散性
例3
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