圆的方程教案.doc

圆的方程
适用学科
高中数学
适用年级
高中三年级
适用区域
通用
课时时长（分钟）
60
知识点
圆的标准方程及其求法
圆的一般方程及其特点
圆的一般方程的求法
点与圆的位置关系
教学目标
1. 掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与圆的一般方程．
2. 会根据条件求圆的标准方程和一般方程．
教学重点
圆的标准方程与圆的一般方程的理解；根据条件求圆的标准方程和一般方程
教学难点
根据条件求圆的标准方程和一般方程
教学过程
一、复习预习
1．初中圆的定义；
2．两点间的距离．
二、知识讲解
考点1 圆的标准方程
(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)表示圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程．
(2)特别地，以原点为圆心，半径为r(r＞0)的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.
考点2 圆的一般方程
方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0可变形为2＋2＝，故有：
(1)当D2＋E2－4F＞0时，方程表示以为圆心，以为半径的圆；
(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程表示一个点；
(3)当D2＋E2－4F＜0时，方程不表示任何图形．
要点诠释：确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；
(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；
(3)解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程．
考点3 P(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)的位置关系
(1)若(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2，则点P在圆外；
(2)若(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，则点P在圆上；
(3)若(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2，则点P在圆内．
三、例题精析
【例题1】
根据下列条件，求圆的方程：
(1)经过A(6，5)，B(0，1)两点，并且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上；
(2)经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6.
【答案】(1)∵AB的中垂线方程为3x＋2y－15＝0，
由解得
∴圆心为C(7，－3)．又CB＝，
故所求圆的方程为(x－7)2＋(y＋3)2＝65.
(2)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
将P，Q点的坐标分别代入，得
又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③
设x1，x2是方程③的两根，
由|x1－x2|＝6有D2－4F＝36.④
由①、②、④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8或D＝－6，E＝－8，F＝0.
故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.
【解析】求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：①几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．②代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．
【例题2】
如果实数x，y满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，求：
(1)的最大值与最小值； (2)x＋y的最大值与最小值．
【答案】(1)设方程(x－3)2＋(y－3)2＝6所表示的圆C上的任意一点P(x，y)．
的几何意义就是直线OP的斜率，
设＝k，则直线OP的方程为y＝kx.
由图①可知，当直线OP与圆相切时，斜率取最值．
因为点C到直线y＝kx的距离d＝，所以当＝，
即k＝3±2时，直线OP与圆相切．
所以的最大值与最小值分别是3＋2与3－2.
(2)设x＋y＝b，则y＝－x＋b，由图②知，当直线与圆C相切时，截距b取最值．而圆心C到直线y＝－x＋b的距离为d＝.
因为当＝，即b＝6±2时，直线y＝－x＋b与圆C相切，所以x＋y的最大值与最小值分别为6＋2与6－2.
【解析】与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：(1)形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；
(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
【例题3】
如图，在半径为1且圆心角为的圆弧上有一点C.
(1)若C为圆弧的中点，D在线段OA上运动，求|＋|的最小值；
(2)若D，E分别为线段OA，OB的中点，当C在圆弧上运动时，求·的取值范围．
【答案】(1)以O为原点，为x轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系．
设D(t，0)(0≤t≤1)，C，所以＋＝.
所以|＋|2＝－t＋t2＋＝t2－t＋1(0≤t≤1)，
当t＝时，最小值为，即|＋|的最小值为.
(2)设＝(cos α，sin α)，则
＝－＝－(cos α，sin α)＝.
又因为D，E