高中文科数学立体几何知识点总结.doc

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立体几何知识点整理(文科）
直线和平面的三种位置关系:
1. 线面平行
符号表示： 　 　 　
2．　线面相交 　
符号表示: 　 　
3．　线在面内
符号表示:　 　　　
平行关系：
线线平行:　
方法一：用线面平行实现。
方法二:用面面平行实现。
方法三:用线面垂直实现。 　
若,则。
方法四:用向量方法： 　 　 　
若向量和向量共线且l、ｍ不重合,则。
线面平行:
方法一:用线线平行实现。
方法二:用面面平行实现。
方法三:用平面法向量实现。
若为平面的一个法向量，且,则。
面面平行:
方法一:用线线平行实现。
方法二：用线面平行实现。
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：
1.　线面垂直：
方法一:用线线垂直实现。
方法二:用面面垂直实现。
２.　面面垂直：　
方法一:用线面垂直实现。
方法二:计算所成二面角为直角。
线线垂直:　
方法一:用线面垂直实现。
方法二:三垂线定理及其逆定理。
方法三：用向量方法: 　　 　 　
若向量和向量的数量积为0,则。
夹角问题。
异面直线所成的角:
（1） 范围：
(2)求法:
方法一:定义法。
步骤１：平移，使它们相交，找到夹角。
步骤２:解三角形求出角。（常用到余弦定理）
余弦定理:
(计算结果可能是其补角）
方法二：向量法。转化为向量的夹角
（计算结果可能是其补角):
线面角
（１)定义:直线l上任取一点Ｐ（交点除外），作PO于Ｏ，连结ＡＯ，则AＯ为斜线PA在面内的射影，（图中)为直线l与面所成的角。
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(2）范围:　
当时,或
当时，
(3)求法:
方法一:定义法。
步骤１：作出线面角,并证明。
步骤2：解三角形,求出线面角。
二面角及其平面角
(１)定义:在棱l上取一点Ｐ，两个半平面内分别作l的垂线(射线)ｍ、n,则射线m和n的夹角为二面角—l—的平面角。
（２）范围：　
(３)求法：
方法一：定义法。
步骤1：作出二面角的平面角(三垂线定理)，并证明。
步骤２：解三角形，求出二面角的平面角。
方法二：截面法。
步骤1:如图,若平面POA同时垂直于平面,则交线（射线)ＡP和ＡO的夹角就是二面角。
步骤2：解三角形，求出二面角。
方法三:坐标法（计算结果可能与二面角互补)。
步骤一:计算
步骤二：判断与的关系,可能相等或者互补。
距离问题。
。
方法一：几何法。
步骤1：过点P作PO于O,线段PO即为所求。
步骤２:计算线段PO的长度。(直接解三角形;等体积法和等面积法；换点法）
、面面距均可转化为点面距。

方法一:转化为线面距离。
如图,m和n为两条异面直线，且,则异面直线ｍ和n之间的距离可转化为直线ｍ与平面之间的距离。
方法二:直接计算公垂线段的长度。
方法三:公式法。
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如图,ＡD是异面直线ｍ和n的公垂线段,,则异面直线m和ｎ之间的距离为：
A
B
C
D
空间向量
空间向量基本定理
若向量为空间中不共面的三个向量，则对空间中任意一个向量，都存在唯一的有序实数对,使得。
（二) 三点共线，四点共面问题
1. A,B,Ｃ三点共线
，且
当时,A是线段BC的 　 　
A,Ｂ,Ｃ三点共线
2. A,Ｂ,C，D四点共面
,且
当时，A是△ＢCD的 　 　　　
A,Ｂ,Ｃ，D四点共面
（三）空间向量的坐标运算
1.　已知空间中A、Ｂ两点的坐标分别为:
，　则:
　　 　 　 　; 　 　
２. 若空间中的向量，
则 　 　 　　　 　 　　
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常见几何体的特征及运算
长方体
1． 长方体的对角线相等且互相平分。
2．　若长方体的一条对角线与相邻的三条棱所成的角分别为,则
若长方体的一条对角线与相邻的三个面所成的角分别为,则
３．若长方体的长宽高分别为a、b、ｃ,则体对角线长为　 　,表面积为 　　　 　,体积为 。
正棱锥:底面是正多边形且顶点在底面的射影在底面中心。
正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。
正多面体:每个面有相同边数的正多边形，且每个顶点为端点有相同棱数的