多项式矩阵求逆矩阵方法总结.doc

多项式矩阵求逆矩阵方法总结
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　　【摘 要】本文给出了多项式矩阵及逆矩阵的定义以及求多项式矩阵逆矩阵的三种方法。 　　【关键词】多项式矩阵;逆矩阵 　　矩阵是线性代数的主要研究对象之一，在自然科学，工程技术乃至社会科学中均有广泛应用，而矩阵的求逆是矩阵理论中研究的重要问题。本文将教学中有关多项式矩阵的逆矩阵的求法通过例题的方式作一些总结。
　　一、预备知识
　　（1）逆矩阵定义：n阶方阵A，如果有n阶方阵B，使得AB=BA=E（E是n阶的单位矩阵），则A可逆，且A逆记为A-1，A-1=B.
　　（2）多项式矩阵定义：设f（x）=a0xn+a1xn-1+…+am，将x换成n阶方阵A，则f（A）=a0An+a1An-1+…+amE称为A的多项式矩阵。
　　二、求多项式矩阵逆矩阵的传统方法
　　求多项式矩阵f（A）的逆矩阵，一般可用待定系数法和分解因式法：
　　
　　例1：设A2-A-6E=0，证明A+3E可逆并求其逆.
　　解A2-A-6E=A2+3A-4E-6E=A（A+3E）-4（A+3E）+6E=（A-4E）（A+3E）+6E=0即- 1-6 （A-4E）（A+3E）=E，故（A+3E）-1=- 1-6 （A-4E）
　　
　　例2：设A2-A-6E=0，证明A+3E可逆并求其逆.
　　解：由待定系数法可设（A+3E）（A+aE）=bE，即A2+（3+a）A+（3a-b）E=0
　　因为A2-A-6E=0，比较系数可得：
　　，
　　解得，a=-4，b=-6
　　则（A+3