高考数学知识点复习测试题5-数列的综合问题.doc

.
1 / 12
第6讲 数列的综合问题
★知 识 梳理 ★

⑴若有最大值,可由不等式组来确定；
⑵若有最小值,可由不等式组来确定.
、等比数列的设法
⑴三个数成等差的设法：；四个数成等差的设法：.
⑵三个数成等比的设法：；四个数成等比的设法：.
、等比数列
⑴等差数列中,,
当时,是递增数列,是的一次函数；
当时,是常数列,是的常数函数；
当时,是递减数列,是的一次函数.
⑵等比数列中,,
当或时,是递增数列；
当或时,是递减数列；
当时,是一个常数列；当时,是一个摆动数列.

⑴ 认真审题、展开联想、沟通联系；
⑵ 将实际应用问题转化为数学问题；
⑶ 将数列与其它知识〔如函数、方程、不等式、解几、三角等联系起来.
★重 难 点 突 破 ★
：掌握常见数列应用问题的解法；掌握数列与其它知识的综合应用.
：如何将实际应用问题转化为数学问题,综合运用所学知识解决数列问题.
★热 点 考 点 题 型 探 析★
考点 数列的综合应用
.
2 / 12
题型1 等差、等比数列的综合应用
[例1]已知等差数列与等比数列中,,求的通项.
[解题思路]由等比数列知：成等比,从而找出的关系.
[解析]设等差数列的公差为,等比数列的公比为,
是等比数列,成等比,则
,解得 或.
当时,,, ；
当时,,, .
[名师指引]综合运用等差、等比数列的有关公式和性质是解决等差、等比数列综合问题的关键.
[例2]已知为数列的前项和,,.
⑴设数列中,,求证：是等比数列；
⑵设数列中,,求证：是等差数列；
⑶求数列的通项公式及前项和.
[解题思路]由于和中的项与中的项有关,且,可利用、的关系作为切入点.
[解析]⑴,,两式相减,得
,
又,,由,,得
,是等比数列,.
⑵由⑴知,,且
是等差数列,.
⑶,且,
.
3 / 12
当时,,
,
[名师指引]⑴等差、等比数列的证明方法主要有定义法、中项法；⑵将""化归为
是解题的关键.
题型2数列与函数、方程、不等式的综合应用
[例3]〔2008XX模拟设函数的定义域为,当时,,且对任意的实数,有．
⑴求,判断并证明函数的单调性；
⑵数列满足,且
①求通项公式；
②当时,不等式对不小于的正整
数恒成立,求的取值范围.
[解题思路]从已知得到递推关系式,再由等差数列的定义入手；恒成立问题转化为左边的最小值.
[解析]⑴,在上减函数〔解法略
⑵① 由单调性
,故等差数列
②
是递增数列
当时,
.
4 / 12
, 即
而,∴,故的取值范围是
[名师指引]数列与函数、方程、不等式的综合问题,要注意将其分解为数学分支中的问题来解决.
题型3 数列的应用问题
[例4]在一直线上共插有13面小旗,相邻两面之距离为,在第一面小旗处有某人把小旗全部集中到一面小旗的位置上,每次只能拿一面小旗,要使他走的路最短,应集中到哪一面小旗的位置上?最短路程是多少?
[解题思路]本题求走的总路程最短,是一个数列求和问题,而如何求和是关键,应先画一草图,研究他从第一面旗到另一面旗处走的路程,然后求和.
[解析]设将旗集中到第面小旗处,则从第一面旗到第面旗处,共走路程为,然后回到第二面处再到第面处是,从第面处到第面处路程为20,从第面处到第面取旗再到第面处,路程为,总的路程:
.
由于,当时,有最小值.
答: 将旗集中以第7面小旗处,所走路程最短.
[名师指引]本例题是等差数列应用问题. 应用等差数列前项和的公式,求和后,利用二次函数求最短距离时,要特别注意自变量的取值范围.
[例5]用砖砌墙,第一层<底层>用去了全部砖块的一半多一块,第二层用去了剩下的一半多一块,…
依次类推,每一层都用去了上次剩下的砖块的一半多一块,到第十层恰好把砖块用完,问共用了多少块?
[解题思路]建立上层到底层砖块数与的关系式是关键,应分清它是等差,还是数列等比数列.
[解析]设从上层到底层砖块数分别为,则,
易得,即
因此,每层砖块数构成首项为2,公比为2的等比数列,则 <块>
答:共用2046块.
[名师指引]建立与的关系式后,转化为求数列通项的问题.
[例6]2002年底某县的绿化面积占全县总面积的％,从2003年开始,计划每年将非绿化面积的
8％绿化,由于修路和盖房等用地,原有绿化面积的2％被非绿化.
⑴设该县的总面积为1,2002年底绿化面积为,经过年后绿化的面积为,试用表示
；
.