函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全.doc

函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全.docD 、其他情形
函数对称性、周期性和奇偶性规律
同一函数的周期性、对称性问题 (即函数自身)
1、 周期性：对于函数 y = f (x)，如果存在一个不为零的常数 T,使得当x取定义域内的每一个值时，都有
f (x • T) = f (x)都成立，那么就把函数 y = f (x)叫做周期函数，不为零的常数 T叫做这个函数的周
期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做 最小正周期。
2、 对称性定义(略)，请用图形来理解。
3、 对称性：
我们知道：偶函数关于 y (即x=0)轴对称，偶函数有关系式 f ( —x) = f (x)
奇函数关于(0，0)对称，奇函数有关系式 f (x) ：：；■ f (_x) =0
上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的
探讨：(1)函数y = f (x)关于x = a对称：= f(a亠x) = f (a - x)
f (a x) = f(a-x)也可以写成 f(x) = f (2a - x)或 f(-x) = f (2a x)
简证：设点(x_ 丫勺)在y = f (x)上，通过f (x) = f (2a - x)可知，丫勺=f (石)=f (2 a -石)，
即点(2a - yt)也在y = f (x)上，而点(Xt, y!)与点(2 a - Xt, yt)关于x=a对称。得证。
(a+x)+(b—x) a+b 若写成：f(a亠x) = f(b-x)，函数y = f (x)关于直线x 对称
2 2
函数 y = f (x)关于点(a,b)对称二 f (a • x) • f (a - x) = 2b
上述关系也可以写成 f (2a • x) f ( -x) = 2b或f (2a - x) • f (x) =2b
简证：设点(X1 , yj 在 y = f (x)上，即 yi 二 f(X1)，通过 f (2a - X) • f (x)二 2b 可知，
f (2a - xt) f (xt) = 2b ， 所以 ， 所以点
(2a - xt ,2b - yt)也在 y = f (x)上，而点(2a - xt,2b - yt)与(xt , yt)关于(a, b)对称。得
证。
a + b c 若写成：f (a x) - f (b —x) = c，函数y = f (x)关于点( ，)对称
2 2
函数y = f (x)关于点y =b对称：假设函数关于y =b对称，即关于任一个 x值，都有两个 y
值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于 y=b对称。但在曲线c(x,y)=0，则
、 . 2 2
有可能会出现关于 y =b对称，比如圆c(x,y) = x ■ y - 4 =0它会关于y=o对称。
4、周期性：
(1)函数y二f (x)满足如下关系系，则 f (x)的周期为 2T
f (x +T) = -f (x) B
f (x T)
1
f (x)
或 f (x T)二
1
f (x)
D 、其他情形
D 、其他情形
T 1 亠 f(x) T 1「f(x)
、f(x •) 或f (x •) (等式右边加负号亦成立)
D 、其他情形
2 1 一 f (x) 2 1 + f (x)
D 、其他情形
(2 )函数 y = f (x)满足 f (a 亠 x) = f (a —x)且 f (b 亠 x) = f (b — x),则可推出 f (x) = f (2a —x) = f [b • (2a - x _b)] = f[b -(2a - x _b)] = f[x • 2(b - a)]即可
以得到y = f(x)的周期为2(b-a)，即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于 x轴两条直线对称，
则函数一定是周期函数”
(3)如果奇函数满足f (x・T) _ - f (x)则可以推出其周期是2T，且可以推出对称轴为
T
x= +2kT (k乏z)，根据f(x) = f(x+2T)可以找出其对称中心为 (kT ,O)(k^z)(以
2
上 T =0)
如果偶函数满足f (x • T ) - _ f (x)则亦可以推出周期是2T，且可以推出对称中心为
T
( 2kT,0)(k三z)，根据f ( x) = f (x 2T )可以推出对称轴为x = T 2kT ( k ■ z)(以
2
上 T -0)
(4)如果奇函数y = f (x)满足f (T +x) = f (T —x)( T式0 )，则函数y = f (x)是以4T为周 期的周期性函数。如果偶函数y二f(X)满足f (T x^ f (T -x)(